math-public:srednyaya_liniya_trapecii
Различия
Показаны различия между двумя версиями страницы.
Предыдущая версия справа и слеваПредыдущая версияСледующая версия | Предыдущая версияПоследняя версияСледующая версия справа и слева | ||
math-public:srednyaya_liniya_trapecii [2016/04/13 20:44] – [Доказательство] labreslav | math-public:srednyaya_liniya_trapecii [2019/10/18 09:01] – [Доказательство] labreslav | ||
---|---|---|---|
Строка 1: | Строка 1: | ||
+ | =====Определение===== | ||
+ | Отрезок, | ||
+ | средней линией трапеции. | ||
+ | =====Свойства средней линии трапеции===== | ||
+ | Средняя линия трапеции параллельна основаниям трапеции и равна их | ||
+ | полусумме. | ||
+ | |||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | ====Доказательство==== | ||
+ | Рассмотрим трапецию $ABCD$, в которой проведена средняя линия $MN$. | ||
+ | |||
+ | Докажем, | ||
+ | |||
+ | Проведем через точку $M$ прямую $FE$ параллельно $CD$ ($F\in CB, E\in AD$). | ||
+ | |||
+ | Тогда $FCDE$ -- параллелограмм ($FC\parallel ED, FE\parallel CD$). | ||
+ | |||
+ | Следовательно, | ||
+ | |||
+ | Кроме того $\triangle FBM=\triangle AME$, по второму признаку равенства ($\angle | ||
+ | 1=\angle 2$, как накрест лежащие, | ||
+ | $AM=MB$, так как $M$ -- середина). | ||
+ | |||
+ | Следовательно, | ||
+ | |||
+ | Тогда $FMNC$ и $MNDE$ - параллелограммы ($FM=ME=ND=NC$ и $FE\parallel | ||
+ | CD$). | ||
+ | |||
+ | Следовательно, | ||
+ | |||
+ | Кроме того, из равенства треугольников $\triangle FBM=\triangle AME$ следует, | ||
+ | |||
+ | Пусть $FB=AE=x$ и $BC=x$. | ||
+ | |||
+ | Тогда $FC=ED=x+y$. | ||
+ | |||
+ | Следовательно, | ||
+ | |||
+ | Кроме того, $BC+AD=BC+AE+ED=y+x+(x+y)=2x+2y$. | ||
+ | |||
+ | Таким образом, | ||
+ | |||
+ | =====Признаки средней линии трапеции===== | ||
+ | - Пусть отрезок $MN$ соединяет точки на боковых сторонах трапеции. Если $M$ -- середина боковой стороны, | ||
+ | - Пусть отрезок $MN$ соединяет точки на боковых сторонах трапеции. Если $MN$ параллелен основанием трапеции и равен их полусумме, | ||
+ | |||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ====Доказательство==== | ||
+ | Первый пункт теоремы является прямым следствием теоремы Фалеса. | ||
+ | |||
+ | Докажем второй пункт теоремы. | ||
+ | |||
+ | Рассмотрим трапецию $ABCD$, в которой на боковых сторонах $AB$ и $CD$ выбраны точки $M$ и $N$ соответственно, | ||
+ | |||
+ | Докажем, | ||
+ | |||
+ | Предположим противное, | ||
+ | |||
+ | Если ровно одна из точек $M$ или $N$ является серединой, | ||
+ | |||
+ | Пусть точки $M$ и $N$ -- не середины боковых сторон. | ||
+ | |||
+ | Тогда пусть $M' | ||
+ | |||
+ | Следовательно, | ||
+ | |||
+ | Но тогда $MNN' | ||
+ | |||
+ | Следовательно, | ||
+ | |||
+ | =====Теорема (об отрезке, | ||
+ | Отрезок, | ||
+ | полуразности ее оснований. | ||
+ | |||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | ====Доказательство==== | ||
+ | Рассмотрим трапецию $ABCD$, в которой точки $E$ и $F$ -- это | ||
+ | середины диагоналей $AC$ и $BD$ соответственно. | ||
+ | |||
+ | Докажем, | ||
+ | |||
+ | По теореме Фалеса средняя линия трапеции $MN$ делит диагонали $AC$ и $BD$ пополам, | ||
+ | |||
+ | Тогда $ME$ и $FN$ -- это средние линии треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle DBC$. | ||
+ | |||
+ | Следовательно, | ||
+ | |||
+ | Тогда $EF=\frac{2x+AD}{2}-x-x=\frac{AD-2x}{2}=\frac{AD-BC}{2}$. | ||
math-public/srednyaya_liniya_trapecii.txt · Последнее изменение: 2022/01/14 16:52 — mesuslina