Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- math-public:srednyaya_liniya_trapecii [2016/04/13 20:49] – [Доказательство] labreslav
+++ math-public:srednyaya_liniya_trapecii [2019/10/18 09:01] – [Доказательство] labreslav
@@ Строка 1: / Строка 1: @@
+=====Определение=====
+Отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции, называется
+средней линией трапеции.
+=====Свойства средней линии трапеции=====
+Средняя линия трапеции параллельна основаниям трапеции и равна их
+полусумме.
+{{:math-public:038.jpg?direct&300|}}
+====Доказательство====
+Рассмотрим трапецию $ABCD$, в которой проведена средняя линия $MN$.
+Докажем, что $MN\parallel AD$ и $MN=\frac{AD+BC}{2}$.
+Проведем через точку $M$ прямую $FE$ параллельно $CD$ ($F\in CB, E\in AD$).
+Тогда $FCDE$ -- параллелограмм ($FC\parallel ED, FE\parallel CD$).
+Следовательно, $FE=CD$, $FC=ED$.
+Кроме того $\triangle FBM=\triangle AME$, по второму признаку равенства ($\angle
+=\angle 2$, как накрест лежащие, $\angle 3=\angle 4$, как вертикальные,
+$AM=MB$, так как $M$ -- середина).
+Следовательно, $FM=ME$.
+Тогда $FMNC$ и $MNDE$ - параллелограммы ($FM=ME=ND=NC$ и $FE\parallel
+CD$).
+Следовательно, $MN\parallel BC$.
+Кроме того, из равенства треугольников $\triangle FBM=\triangle AME$ следует,что $FB=AE$.
+Пусть $FB=AE=x$ и $BC=x$.
+Тогда $FC=ED=x+y$.
+Следовательно, $MN=x+y$.
+Кроме того, $BC+AD=BC+AE+ED=y+x+(x+y)=2x+2y$.
+Таким образом, $MN=x+y=\dfrac{BC+AD}{2}$.
+=====Признаки средней линии трапеции=====
+  - Пусть отрезок $MN$ соединяет точки на боковых сторонах трапеции. Если $M$ -- середина боковой стороны, и $MN$ параллелен основаниям трапеции, то $MN$ -- это средняя линия трапеции.
+  - Пусть отрезок $MN$ соединяет точки на боковых сторонах трапеции. Если $MN$ параллелен основанием трапеции и равен их полусумме, то $MN$ -- средняя линия трапеции.
+{{:math-public:040.jpg?direct&300|}}
+====Доказательство====
+Первый пункт теоремы является прямым следствием теоремы Фалеса.
+Докажем второй пункт теоремы.
+Рассмотрим трапецию $ABCD$, в которой на боковых сторонах $AB$ и $CD$ выбраны точки $M$ и $N$ соответственно, и при этом $MN=\dfrac{AD+BC}{2}$.
+Докажем, что тогда $MN$ -- средняя линия трапеции $ABCD$.
+Предположим противное, то есть $MN$ -- не средняя линия данной трапеции.
+Если ровно одна из точек $M$ или $N$ является серединой, то по первому пункту теоремы $MN$ -- это средняя линия, так как $MN$ параллельна основаниям трапеции.
+Пусть точки $M$ и $N$ -- не середины боковых сторон.
+Тогда пусть $M'N'$ -- средняя линия трапеции.
+Следовательно, $M'N'=\frac{BC+AD}{2}=MN$ и $MN\parallel BC\parallel MN$.
+Но тогда $MNN'M'$ -- параллелограмм, и, следовательно, $MM'\parallel NN'$, что противоречит тому, что $ABCD$ -- это трапеция.
+Следовательно, $MN$ -- средняя линия.
+=====Теорема (об отрезке, соединяющем середины диагоналей трапеции)=====
+Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, равен
+полуразности ее оснований.
+{{:math-public:039.jpg?direct&300|}}
+====Доказательство====
+Рассмотрим трапецию $ABCD$, в которой точки $E$ и $F$ -- это
+середины диагоналей $AC$ и $BD$ соответственно.
+Докажем, что $EF=\frac{AD-BC}{2}$.
+По теореме Фалеса средняя линия трапеции $MN$ делит диагонали $AC$ и $BD$ пополам, то есть точки $E$ и $F$ лежат на средней линии.
+Тогда $ME$ и $FN$ -- это средние линии треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle DBC$.
+Следовательно, если обозначить $BC=2x$, то $ME=FN=x$.
+Тогда $EF=\frac{2x+AD}{2}-x-x=\frac{AD-2x}{2}=\frac{AD-BC}{2}$.