Определение

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции, называется средней линией трапеции.

Свойства средней линии трапеции

Средняя линия трапеции параллельна основаниям трапеции и равна их полусумме.

Доказательство

Рассмотрим трапецию , в которой проведена средняя линия .

Докажем, что и .

Проведем через точку прямую параллельно ().

Тогда – параллелограмм ().

Следовательно, , .

Кроме того , по второму признаку равенства ($\angle 1=\angle 2\angle 3=\angle 4$, как вертикальные, , так как – середина).

Следовательно, .

Тогда и - параллелограммы ( и $FE\parallel CD$).

Следовательно, .

Кроме того, из равенства треугольников следует,что .

Пусть и .

Тогда .

Следовательно, .

Кроме того, .

Таким образом, .

Признаки средней линии трапеции

Пусть отрезок соединяет точки на боковых сторонах трапеции. Если – середина боковой стороны, и параллелен основаниям трапеции, то – это средняя линия трапеции.

Пусть отрезок соединяет точки на боковых сторонах трапеции. Если параллелен основанием трапеции и равен их полусумме, то – средняя линия трапеции.

Доказательство

Первый пункт теоремы является прямым следствием теоремы Фалеса.

Докажем второй пункт теоремы.

Рассмотрим трапецию , в которой на боковых сторонах и выбраны точки и соответственно, и при этом .

Докажем, что тогда – средняя линия трапеции .

Предположим противное, то есть – не средняя линия данной трапеции.

Если ровно одна из точек или является серединой, то по первому пункту теоремы – это средняя линия, так как параллельна основаниям трапеции.

Пусть точки и – не середины боковых сторон.

Тогда пусть – средняя линия трапеции.

Следовательно, и .

Но тогда – параллелограмм, и, следовательно, , что противоречит тому, что – это трапеция.

Следовательно, – средняя линия.

Теорема (об отрезке, соединяющем середины диагоналей трапеции)

Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, равен полуразности ее оснований.

Доказательство

Рассмотрим трапецию , в которой точки и – это середины диагоналей и соответственно.

Докажем, что .

По теореме Фалеса средняя линия трапеции делит диагонали и пополам, то есть точки и лежат на средней линии.

Тогда и – это средние линии треугольников и .

Следовательно, если обозначить , то .

Тогда .