Определение

Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, называется средней линией треугольника.

Свойства средней линии треугольника

Средняя линия треугольника параллельна стороне треугольника и равна ее половине.

Доказательство

Рассмотрим , с основанием и средней линией .

Докажем, что и .

На прямой за точкой выберем точку так, чтобы выполнялось .

Тогда по первому признаку равенства (, ).

Тогда , следовательно, .

Кроме того, из равенства треугольников следует, что .

Но , следовательно .

Тогда – параллелограмм (, ).

Следовательно, и .

Признаки средней линии треугольника

Если в треугольнике точка – середина стороны , а точка принадлежит стороне , и при этом , то – средняя линия.

Если в треугольнике точки и принадлежат сторонам и соответственно, при этом и , то – средняя линия.

Доказательство

Докажем первый пункт теоремы.

Рассмотрим , в котором – середина , лежит на стороне , .

Докажем, что – средняя линия.

Выберем на прямой за точкой такую точку , что .

Тогда – параллелограмм (, ).

Следовательно, , так как .

Кроме того , как противоположные стороны параллелограмма.

Следовательно, .

Тогда по второму признаку равенства.

Следовательно, , то есть – средняя линия.

Докажем второй пункт теоремы.

Рассмотрим треугольник , в котором на сторонах и взяты точки и соответственно так, что и .

Докажем, что тогда – средняя линия треугольника .

Пусть – это середина . Тогда – параллелограмм (, ).

Следовательно, .

Тогда , как соответственные при параллельных прямых.

Кроме того .

Следовательно, по второму признаку равенства.

Тогда и , то есть – средняя линия .

Замечание

Третий признак средней линии неверен.