Свойства синуса

Синус каждого угла не больше единицы.

При возрастании угла от до его синус возрастает от 0 до 1.

При возрастании угла от до его синус убывает от 1 до 0.

.

Величина острого угла определяется его синусом.

Доказательство

Первый пункт следует из того, что перпендикуляр короче наклонной.

Докажем второй пункт теоремы.

Возьмем прямой угол со сторонами и .

Из вершины внутрь этого угла проведем единичный отрезок , образующий с лучом острый угол .

Из точки опустим перпендикуляры и на лучи и .

Получим прямоугольник .

Так как , то .

А поскольку , то .

Итак равен длине проекции единичного отрезка на луч .

Когда угол возрастает от до , отрезок поворачивается вокруг точки от положения на луче до положения на луче .

Точка пробегает четверть окружности.

При этом точка движется от точки до точки .

Длина отрезка , то есть возрастает от до .

Докажем третий пункт теоремы.

Когда тупой угол возрастает от до , смежный ему острый угол убывает от до .

В этом случае по пункту 2 синус такого угла убывает от до .

Докажем четвертый пункт теоремы.

Пусть .

Докажем, что тогда .

Действительно, возможно три случая:

. Тогда по пункту 2 . Значит, этот случай не имеет места.

. Тогда по пункту 2 . Значит, этот случай не имеет места.

Следовательно, остаётся только третья возможность: .