Тангенсом угла называется отношение синуса угла к его косинусу.

Котангенсом угла называется отношение косинуса угла к его синусу.

1. При увеличении угла от $0^\circ$ до $90^\circ$ тангенс растет от $0$ до бесконечности.
2. $\tg{(180^\circ-\alpha)}=-\tg{\alpha}$.
3. Для острых углов значение тангенса определяет угол.

Построим прямоугольный треугольник $ABC$, у которого $AC=1$ и $\angle A=\alpha$.

Тогда другой его катет $BC=\tg{\alpha}$.

Когда угол $\alpha$ возрастает от $0^\circ$ до $90^\circ$ катет $BC$, а значит и $\tg{\alpha}$, возрастает от $0$ до бесконечности.

$$\tg{(180^\circ-\alpha)}=\dfrac{\sin{(180^\circ-\alpha)}}{\cos{(180^\circ-\alpha)}}=\dfrac{\sin{\alpha}}{-\cos{\alpha}}=-\tg{\alpha}.$$

Пусть углы $\alpha$ и $\beta$ – острые.

Докажем, что если $\tg{\alpha}=\tg{\beta}$, то $\alpha=\beta$.

Действительно, возможно три случая:

1. $\alpha>\beta$. Тогда по пункту 1 $\tg{\alpha}>\tg{\beta}$. Значит, этот случай не имеет места.
2. $\alpha<\beta$. Тогда по пункту 1 $\tg{\alpha}<\tg{\beta}$. Значит, этот случай не имеет места.
3. Следовательно, остаётся только третья возможность: $\alpha=\beta$.