Президентский ФМЛ №239

Эта страница только для чтения. Вы можете посмотреть её исходный текст, но не можете его изменить. Сообщите администратору, если считаете, что это неправильно.

======Тангенс и котангенс======
=====Определение======
Тангенсом угла называется отношение синуса угла к его косинусу.

=====Определение======
Котангенсом угла называется отношение косинуса угла к его синусу.

=====Свойства тангенса=====
  - При увеличении угла от $0^\circ$ до $90^\circ$ тангенс растет от $0$ до бесконечности.
  - $\tg{(180^\circ-\alpha)}=-\tg{\alpha}$.
  - Для острых углов значение тангенса определяет угол.

{{:math-public:075.jpg?direct&300|}}

====Доказательство====
===Докажем первый пункт теоремы.===
Построим прямоугольный треугольник $ABC$, у которого $AC=1$ и $\angle A=\alpha$.

Тогда другой его катет $BC=\tg{\alpha}$.

Когда угол $\alpha$ возрастает от $0^\circ$ до $90^\circ$ катет $BC$, а значит и $\tg{\alpha}$, возрастает от $0$ до бесконечности.

===Докажем второй пункт теоремы.===
$$\tg{(180^\circ-\alpha)}=\dfrac{\sin{(180^\circ-\alpha)}}{\cos{(180^\circ-\alpha)}}=\dfrac{\sin{\alpha}}{-\cos{\alpha}}=-\tg{\alpha}.$$

===Докажем третий пункт теоремы.===

Пусть углы $\alpha$ и $\beta$ -- острые.

Докажем, что если $\tg{\alpha}=\tg{\beta}$, то $\alpha=\beta$.

Действительно, возможно три случая:
  - $\alpha>\beta$. Тогда по пункту 1 $\tg{\alpha}>\tg{\beta}$. Значит, этот случай не имеет места.
  - $\alpha<\beta$. Тогда по пункту 1 $\tg{\alpha}<\tg{\beta}$. Значит, этот случай не имеет места.
  - Следовательно, остаётся только третья возможность: $\alpha=\beta$.