Президентский ФМЛ №239

Эта страница только для чтения. Вы можете посмотреть её исходный текст, но не можете его изменить. Сообщите администратору, если считаете, что это неправильно.
=====Теорема косинусов=====
В каждом треугольнике квадрат любой его стороны равен сумме
квадратов двух других его сторон минус удвоенное произведение этих
сторон на косинус угла между ними.

{{:math-public:071a.jpg?direct&300|}}{{:math-public:071b.jpg?direct&300|}}

====Доказательство====
===Первый способ.===
Рассмотрим треугольник $ABC$ со сторонами $a,b$ и $c$.

Докажем, что $c^2=a^2+b^2-2ab\cos{C}$.

Возможны три случая:
  - $\angle C=90^\circ$
  - $\angle C<90^\circ$
  - $\angle C>90^\circ$.

===Первый случай.===

Пусть $\angle C=90^\circ$.

Тогда $\cos C=0$ и требуемое равенство
обращается в теорему Пифагора для прямоугольного треугольника
$ABC$.

===Второй случай.===
Пусть $\angle C<90^\circ$.

В треугольнике $ABC$ есть ещё хотя бы один острый угол.

Пусть это будет угол $B$.

Из вершины $A$ проведем высоту $AD$.

Так как углы $B$ и $C$ острые, точка $D$ лежит на стороне $BC$.

Отрезок $CD=b_1$ будет катетом в прямоугольном треугольнике $ACD$ с гипотенузой
$AC=b$ и прилежащим острым углом $C$.

Поэтому $b_1=b\cos{C}.$

По теореме Пифагора находим $c^2$ из другого прямоугольного треугольника $ABD$
с катетами $AD=h$ и $BD=a-b_1$.

Получаем $c^2=(a-b_1)^2+h^2$.

Но $h^2=b^2-b_1^2$ из треугольника $ACD$.

Подставив это выражение для $h^2$ в предыдущее равенство и заменив $b_1$ по формуле, получим: $c^2=a^2-2ab_1+b_1^2+b^2-b_1^2=a^2-2ab\cos{C}+b^2$.

===Третий случай.===
Пусть $\a C>90^\circ$.

Снова проведем высоту $AD=h$ из вершины $A$.

Теперь ее основание -- точка $D$ лежит на продолжении стороны $BC$ за точку $C$.

Снова обозначим отрезок $CD$ через $b_1$.

В этом случае $BD=a+b_1$ и из прямоугольного треугольника $ABD$ по теореме Пифагора $c^2=h^2+(a+b_1)^2$.

По определению косинуса тупого угла $\cos{C}=-\dfrac{b_1}{b}$.

Поэтому $b_1=-b\cos{C}$.

Наконец, из треугольника $ACD$ снова получаем, что $h^2=b^2-b_1^2$.

Подставляя это выражение для $h^2$ и выражение для $b_1$, то есть $b_1=-b\cos{C}$ в, снова получаем: $c^2=b^2-b_1^2+a^2+2ab_1+b_1^2=a^2+b^2-2ab\cos{C}$.

{{:math-public:071c.jpg?direct&300|}}

===Второй способ.===

Рассмотрим треугольник $ABC$ со сторонами $a,b$ и $c$.

Докажем, что $a^2=b^2+c^2-2bc\cos{A}$.

Введем систему координат с началом в точке $A$ так, чтобы $Ox\upuparrows
\overrightarrow{AB}$, а точка $C$ имела бы положительную ординату.

Тогда точка $B$ имеет координаты $(c;0)$, а точка $C$ имеет координаты $(b\cos{A};b\sin{A})$.

По формуле расстояния между двумя точками получаем:
$BC^2=a^2=(b\cos{A}-c)^2+b^2\sin^2{A}=b^2\cos^2{A}+b^2\sin^2{A}-2bc\cos{A}+c^2=b^2+c^2-2bc\cos{A}$.