math-public:teorema_kosinusov
Различия
Показаны различия между двумя версиями страницы.
math-public:teorema_kosinusov [2016/04/08 23:21] – создано labreslav | math-public:teorema_kosinusov [2017/02/08 21:24] (текущий) – [Доказательство] labreslav | ||
---|---|---|---|
Строка 1: | Строка 1: | ||
+ | =====Теорема косинусов===== | ||
+ | В каждом треугольнике квадрат любой его стороны равен сумме | ||
+ | квадратов двух других его сторон минус удвоенное произведение этих | ||
+ | сторон на косинус угла между ними. | ||
+ | |||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | ====Доказательство==== | ||
+ | ===Первый способ.=== | ||
+ | Рассмотрим треугольник $ABC$ со сторонами $a,b$ и $c$. | ||
+ | |||
+ | Докажем, | ||
+ | |||
+ | Возможны три случая: | ||
+ | - $\angle C=90^\circ$ | ||
+ | - $\angle C< | ||
+ | - $\angle C> | ||
+ | |||
+ | ===Первый случай.=== | ||
+ | |||
+ | Пусть $\angle C=90^\circ$. | ||
+ | |||
+ | Тогда $\cos C=0$ и требуемое равенство | ||
+ | обращается в теорему Пифагора для прямоугольного треугольника | ||
+ | $ABC$. | ||
+ | |||
+ | ===Второй случай.=== | ||
+ | Пусть $\angle C< | ||
+ | |||
+ | В треугольнике $ABC$ есть ещё хотя бы один острый угол. | ||
+ | |||
+ | Пусть это будет угол $B$. | ||
+ | |||
+ | Из вершины $A$ проведем высоту $AD$. | ||
+ | |||
+ | Так как углы $B$ и $C$ острые, | ||
+ | |||
+ | Отрезок $CD=b_1$ будет катетом в прямоугольном треугольнике $ACD$ с гипотенузой | ||
+ | $AC=b$ и прилежащим острым углом $C$. | ||
+ | |||
+ | Поэтому $b_1=b\cos{C}.$ | ||
+ | |||
+ | По теореме Пифагора находим $c^2$ из другого прямоугольного треугольника $ABD$ | ||
+ | с катетами $AD=h$ и $BD=a-b_1$. | ||
+ | |||
+ | Получаем $c^2=(a-b_1)^2+h^2$. | ||
+ | |||
+ | Но $h^2=b^2-b_1^2$ из треугольника $ACD$. | ||
+ | |||
+ | Подставив это выражение для $h^2$ в предыдущее равенство и заменив $b_1$ по формуле, | ||
+ | |||
+ | ===Третий случай.=== | ||
+ | Пусть $\a C> | ||
+ | |||
+ | Снова проведем высоту $AD=h$ из вершины $A$. | ||
+ | |||
+ | Теперь ее основание -- точка $D$ лежит на продолжении стороны $BC$ за точку $C$. | ||
+ | |||
+ | Снова обозначим отрезок $CD$ через $b_1$. | ||
+ | |||
+ | В этом случае $BD=a+b_1$ и из прямоугольного треугольника $ABD$ по теореме Пифагора $c^2=h^2+(a+b_1)^2$. | ||
+ | |||
+ | По определению косинуса тупого угла $\cos{C}=-\dfrac{b_1}{b}$. | ||
+ | |||
+ | Поэтому $b_1=-b\cos{C}$. | ||
+ | |||
+ | Наконец, | ||
+ | |||
+ | Подставляя это выражение для $h^2$ и выражение для $b_1$, то есть $b_1=-b\cos{C}$ в, снова получаем: | ||
+ | |||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | ===Второй способ.=== | ||
+ | |||
+ | Рассмотрим треугольник $ABC$ со сторонами $a,b$ и $c$. | ||
+ | |||
+ | Докажем, | ||
+ | |||
+ | Введем систему координат с началом в точке $A$ так, чтобы $Ox\upuparrows | ||
+ | \overrightarrow{AB}$, | ||
+ | |||
+ | Тогда точка $B$ имеет координаты $(c;0)$, а точка $C$ имеет координаты $(b\cos{A}; | ||
+ | |||
+ | По формуле расстояния между двумя точками получаем: | ||
+ | $BC^2=a^2=(b\cos{A}-c)^2+b^2\sin^2{A}=b^2\cos^2{A}+b^2\sin^2{A}-2bc\cos{A}+c^2=b^2+c^2-2bc\cos{A}$. | ||
math-public/teorema_kosinusov.1460146889.txt.bz2 · Последнее изменение: 2016/04/08 23:21 — labreslav