Президентский ФМЛ №239

Эта страница только для чтения. Вы можете посмотреть её исходный текст, но не можете его изменить. Сообщите администратору, если считаете, что это неправильно.
====Определение====
Определим отношение направленных отрезков следующим
образом:\\

  - $\dfrac{\overrightarrow{AB}}{\overrightarrow{CD}}=\dfrac{|AB|}{|CD|}$, если векторы $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{CD}$ сонаправленные.
  - $\dfrac{\overrightarrow{AB}}{\overrightarrow{CD}}=-\dfrac{|AB|}{|CD|}$, если векторы $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{CD}$ противонаправленные.

=====Замечание=====
Из определения следуют свойства:
  - Можно менять знак: $\dfrac{\overrightarrow{AB}}{\overrightarrow{CD}}=-\dfrac{\overrightarrow{AB}}{\overrightarrow{DC}}$
  - Можно "сокращать": $\dfrac{\overrightarrow{AB}}{\overrightarrow{CD}}\cdot \dfrac{\overrightarrow{CD}}{\overrightarrow{EF}}=\dfrac{\overrightarrow{AB}}{\overrightarrow{EF}}$
  - Можно делить обе части равенства на отношение: если $\dfrac{\overrightarrow{AB}}{\overrightarrow{CD}}=\dfrac{\overrightarrow{EF}}{\overrightarrow{KL}}$, то $\dfrac{\overrightarrow{AB}}{\overrightarrow{CD}}\cdot\dfrac{\overrightarrow{KL}}{\overrightarrow{EF}}=1$

=====Теорема Менелая=====
Точки $A_1,B_1$ и $C_1$, лежащие на сторонах треугольника $ABC$ или
на их продолжениях, лежат на одной прямой тогда и только тогда,
когда
$\dfrac{\overrightarrow{AC_1}}{\overrightarrow{C_1B}}\cdot\dfrac{\overrightarrow{BA_1}}{\overrightarrow{A_1C}}\cdot\dfrac{\overrightarrow{CB_1}}{\overrightarrow{B_1A}}=-1$.\\
{{:math-public:062.jpg?direct&300|}}{{:math-public:062b.jpg?direct&300|}}\\
====Доказательство====
===Докажем прямую теорему===
Рассмотрим треугольник $ABC$, и пусть прямая $l$ пересекает стороны
$AB, BC, CA$ или их продолжения в точках $C_1, A_1$ и $B_1$
соответственно.\\

Докажем, что тогда
$\dfrac{\overrightarrow{AC_1}}{\overrightarrow{C_1B}}\cdot\dfrac{\overrightarrow{BA_1}}{\overrightarrow{A_1C}}\cdot\dfrac{\overrightarrow{CB_1}}{\overrightarrow{B_1A}}=-1$.\\

Проведем через вершину $C$ прямую $p$, параллельную прямой $l$.\\

Пусть $K$ -- это точка пересечения прямых $p$ и $AC$.\\

По теореме Фалеса
$\dfrac{\overrightarrow{AB_1}}{\overrightarrow{B_1C}}=\dfrac{\overrightarrow{AC_1}}{\overrightarrow{C_1K}},
 \dfrac{\overrightarrow{CA_1}}{\overrightarrow{A_1B}}=-\dfrac{\overrightarrow{C_1K}}{\overrightarrow{C_1B}}$.\\

Перемножив эти равенства, получим $\dfrac{\overrightarrow{AB_1}\cdot
\overrightarrow{CA_1}}{\overrightarrow{B_1C}\cdot
\overrightarrow{A_1B}}=-\dfrac{\overrightarrow{AC_1}}{\overrightarrow{C_1B}}$,
откуда следует, что
$\dfrac{\overrightarrow{AC_1}}{\overrightarrow{C_1B}}\cdot\dfrac{\overrightarrow{BA_1}}{\overrightarrow{A_1C}}\cdot\dfrac{\overrightarrow{CB_1}}{\overrightarrow{B_1A}}=-1$.\\

===Докажем обратную теорему.===
Рассмотрим треугольник $ABC$. Пусть на
прямых $AB, BC$ и $AC$ выбраны точки $C_1, A_1$ и $B_1$
соответственно.\\

Докажем, что если
$\dfrac{\overrightarrow{AC_1}}{\overrightarrow{C_1B}}\cdot\dfrac{\overrightarrow{BA_1}}{\overrightarrow{A_1C}}\cdot\dfrac{\overrightarrow{CB_1}}{\overrightarrow{B_1A}}=-1$,
то точки $A_1, B_1$ и $C_1$ лежат на одной прямой.\\

Пусть прямая $A_1B_1$ пересекает прямую $AB$ в точке $C_2$.\\

Докажем, что $C_2=C_1$.\\

Действительно, так как точки  $A_1,
B_1$ и $C_2$ лежат на одной прямой, то для них выполняется равенство
$\dfrac{\overrightarrow{AC_2}}{\overrightarrow{C_2B}}\cdot\dfrac{\overrightarrow{BA_1}}{\overrightarrow{A_1C}}\cdot\dfrac{\overrightarrow{CB_1}}{\overrightarrow{B_1A}}=-1$.\\

Но тогда
$\dfrac{\overrightarrow{AC_2}}{\overrightarrow{C_2B}}=-\dfrac{\overrightarrow{A_1C}}{\overrightarrow{BA_1}}\cdot\dfrac{\overrightarrow{B_1A}}{\overrightarrow{CB_1}}=\dfrac{\overrightarrow{AC_1}}{\overrightarrow{C_1B}}$,
что и означает, что $C_1=C_2$.

====Замечание====
Картинка может отличаться от той, что дана при доказательстве теоремы. Но все рассуждения останутся верны. (Нужен рисунок)

=====Следствие=====
Теорема Менелая в скалярной форме.

=====Следствие (теорема о двух чевианах)=====
Пусть в треугольнике $ABC$ чевианы $AA_1$ и $BB_1$ пересекаются в точке $O$. Тогда $\dfrac{AO}{OA_1}=\dfrac{AB_1}{B_1C}\left(\dfrac{CA_1}{A_1B}+1\right)$.