Определение

Определим отношение направленных отрезков следующим образом:

, если векторы и сонаправленные.

, если векторы и противонаправленные.

Замечание

Из определения следуют свойства:

Можно менять знак:

Можно «сокращать»:

Можно делить обе части равенства на отношение: если , то

Теорема Менелая

Точки и , лежащие на сторонах треугольника или на их продолжениях, лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда .

Доказательство

Докажем прямую теорему

Рассмотрим треугольник , и пусть прямая пересекает стороны или их продолжения в точках и соответственно.

Докажем, что тогда .

Проведем через вершину прямую , параллельную прямой .

Пусть – это точка пересечения прямых и .

По теореме Фалеса $\dfrac{\overrightarrow{AB_1}}{\overrightarrow{B_1C}}=\dfrac{\overrightarrow{AC_1}}{\overrightarrow{C_1K}}, \dfrac{\overrightarrow{CA_1}}{\overrightarrow{A_1B}}=-\dfrac{\overrightarrow{C_1K}}{\overrightarrow{C_1B}}$.

Перемножив эти равенства, получим $\dfrac{\overrightarrow{AB_1}\cdot \overrightarrow{CA_1}}{\overrightarrow{B_1C}\cdot \overrightarrow{A_1B}}=-\dfrac{\overrightarrow{AC_1}}{\overrightarrow{C_1B}}$, откуда следует, что .

Докажем обратную теорему.

Рассмотрим треугольник . Пусть на прямых и выбраны точки и соответственно.

Докажем, что если , то точки и лежат на одной прямой.

Пусть прямая пересекает прямую в точке .

Докажем, что .

Действительно, так как точки $A_1, B_1C_2$ лежат на одной прямой, то для них выполняется равенство .

Но тогда , что и означает, что .

Замечание

Картинка может отличаться от той, что дана при доказательстве теоремы. Но все рассуждения останутся верны. (Нужен рисунок)

Следствие

Теорема Менелая в скалярной форме.

Следствие (теорема о двух чевианах)

Пусть в треугольнике чевианы и пересекаются в точке . Тогда .

Теорема Стюарта