Президентский ФМЛ №239

Эта страница только для чтения. Вы можете посмотреть её исходный текст, но не можете его изменить. Сообщите администратору, если считаете, что это неправильно.

=====Теорема=====
Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов
всех его сторон.

{{:math-public:072.jpg?direct&300|}}


====Доказательство====
Рассмотрим параллелограмм $ABCD$.

Докажем, что $AC^2+BD^2=AB^2+BC^2+CD^2+AD^2$.

По теореме косинусов для треугольника $ABC$ имеем: $AC^2=AB^2+BC^2-2\cdot AB\cdot BC\cos{B}$.

По теореме косинусов для треугольника $BAD$ имеем:
$BD^2=AB^2+AD^2-2\cdot AB\cdot AD\cos{A}$.

Но так как $ABCD$ -- это параллелограмм, то $\angle A=180^\circ-\angle B, BC=AD$. 

Следовательно, $\cos{A}=-\cos{B}$ и $BD^2=AB^2+BC^2+2\cdot AB\cdot BC\cos{B}$.

Складывая это равенство с выражением для $AC^2$ получим:
$AC^2+BD^2=AB^2+BC^2+CD^2+AD^2$.