math-public:teorema_styarta
Различия
Показаны различия между двумя версиями страницы.
Предыдущая версия справа и слеваПредыдущая версияСледующая версия | Предыдущая версияСледующая версияСледующая версия справа и слева | ||
math-public:teorema_styarta [2019/05/06 10:27] – labreslav | math-public:teorema_styarta [2019/05/06 11:18] – labreslav | ||
---|---|---|---|
Строка 1: | Строка 1: | ||
=====Теорема Стюарта===== | =====Теорема Стюарта===== | ||
- | $d^2=a^2\cdot \dfrac{b_1}{c}+b^2\cdot\dfrac{a_1}{c}-a_1b_1$ | + | $AD^{2}=AB^{2}\cdot\dfrac{DC}{BC}+A C^{2}\cdot \dfrac{BD}{BC}-BD \cdot DC$ |
===Доказательство=== | ===Доказательство=== | ||
- | $A B^{2}=B D^{2}+A D^{2}-2 | + | $A B^{2}=B D^{2}+A D^{2}-2 |
- | $A C^{2}=A D^{2}+D C^{2}-2 | + | $A C^{2}=A D^{2}+D C^{2}-2 |
Первое уравнение домножим на $DC$, а второе на $BD$: | Первое уравнение домножим на $DC$, а второе на $BD$: | ||
- | $A B^{2} D C=B D^{2} D C+A D^{2} D C-2 A D \cdot B D \cdot D C \cos \angle | + | $AB^{2}\cdot DC=BD^{2}\cdot DC + AD^{2}\cdot DC - 2 AD \cdot BD \cdot DC\cdot \cos \angle |
- | $A C^{2} B D=A D^{2} B D+D C^{2} B D+2 A D \cdot D C \cdot B D \cos \angle | + | $AC^{2}\cdot BD=AD^{2}\cdot BD + DC^{2}\cdot BD + 2 AD \cdot DC \cdot BD\cdot \cos \angle |
Сложим последние два уравнения: | Сложим последние два уравнения: | ||
- | $A B^{2} D C+A C^{2} B D=B D^{2} D C+A D^{2} D C+A D^{2} B D+D C^{2} B D$ | + | $AB^{2}\cdot DC+AC^{2}\cdot BD=BD^{2}\cdot DC + AD^{2}\cdot DC + AD^{2}\cdot BD + DC^{2}\cdot BD$ |
- | $A D^{2}(D C+B D)=A B^{2} D C+A C^{2} B D-B D^{2} D C-D C^{2} B D$ | + | $AD^{2}\cdot(D C+B D)=AB^{2}\cdot DC + AC^{2}\cdot BD - BD^{2}\cdot DC - DC^{2}\cdot BD$ |
- | $A D^{2}(D C+B D)=A B^{2} D C+A C^{2} B D-B D \cdot D C(B D+D C)$ | + | $AD^{2}\cdot(D C+B D)=AB^{2}\cdot DC + AC^{2}\cdot BD - BD \cdot DC(BD+DC)$ |
- | $A D^{2}=\dfrac{A B^{2} D C}{B D+D C}+\dfrac{A C^{2} B D}{B D+D C}-B D \cdot D C$ | + | $AD^{2}=\dfrac{AB^{2}\cdot DC}{BD+DC}+\dfrac{AC^{2}\cdot BD}{BD+DC} - BD \cdot DC$ |
- | $A D^{2}=\dfrac{A B^{2} D C}{B C}+\dfrac{A C^{2} B D}{B C}-B D \cdot D C$ | + | $AD^{2}=\dfrac{AB^{2}\cdot DC}{BC}+\dfrac{A C^{2}\cdot BD}{BC}-BD \cdot DC$ |
+ | $AD^{2}=AB^{2}\cdot\dfrac{DC}{BC}+A C^{2}\cdot \dfrac{BD}{BC}-BD \cdot DC$ | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ===Доказательство=== | ||
+ | |||
+ | $c^{2}=c_1^{2}+d^{2}-2 c_1 \cdot d\cdot \cos\varphi$ | ||
+ | |||
+ | $b^{2}=b_1^{2}+d^{2}-2 b_1\cdot d\cdot \cos(180^\circ-\varphi)=b_1^{2}+d^{2}+2 b_1\cdot d\cdot \cos\varphi$ | ||
+ | |||
+ | Первое уравнение домножим на $b_1$, а второе на $c_1$: | ||
+ | |||
+ | $c^{2}\cdot b_1=c_1^{2}\cdot b_1 + d^{2}\cdot b_1 - 2 d \cdot c_1 \cdot b_1\cdot \cos \varphi$ | ||
+ | |||
+ | $b^{2}\cdot c_1=d^{2}\cdot c_1 + b_1^{2}\cdot c_1 + 2 d \cdot c_1 \cdot b_1\cdot \cos \varphi$ | ||
+ | |||
+ | Сложим последние два уравнения: | ||
+ | |||
+ | $с^{2}\cdot b_1+b^{2}\cdot c_1=c_1^{2}\cdot b_1 + d^{2}\cdot b_1 + d^{2}\cdot c_1 + b_1^{2}\cdot c_1$ | ||
+ | |||
+ | В правой части равенства сгруппируем второе и третье слагаемое, | ||
+ | |||
+ | $с^{2}\cdot b_1+b^{2}\cdot c_1=c_1b_1(c_1+b_1) + d^{2}(b_1+ c_1)$ | ||
+ | |||
+ | $с^{2}\cdot b_1+b^{2}\cdot c_1=c_1b_1\cdot a + d^{2}\cdot a$ | ||
+ | |||
+ | $d^2 = c^2 \cdot \dfrac{b_1}{a}+ b^2\cdot \dfrac{c_1}{a}-b_1 c_1$ |
math-public/teorema_styarta.txt · Последнее изменение: 2019/05/06 11:23 — labreslav