Президентский ФМЛ №239

$d^2=a^2\cdot \dfrac{b_1}{c}+b^2\cdot\dfrac{a_1}{c}-a_1b_1$

$A B^{2}=B D^{2}+A D^{2}-2 AD \cdot BD\cdot \cos \angle A D B$

$A C^{2}=A D^{2}+D C^{2}-2 AD\cdot DC\cdot \cos \angle A D C=A D^{2}+D C^{2}+2 A D \cdot D C\cdot \cos \angle A D B$

Первое уравнение домножим на $DC$, а второе на $BD$:

$AB^{2}\cdot DC=BD^{2}\cdot DC + AD^{2}\cdot DC - 2 AD \cdot BD \cdot DC\cdot \cos \angle ADB$

$AC^{2}\cdot BD=AD^{2}\cdot BD + DC^{2}\cdot BD + 2 AD \cdot DC \cdot BD\cdot \cos \angle ADB$

Сложим последние два уравнения:

$AB^{2}\cdot DC+AC^{2}\cdot BD=BD^{2}\cdot DC + AD^{2}\cdot DC + AD^{2}\cdot BD + DC^{2}\cdot BD$

$AD^{2}\cdot(D C+B D)=AB^{2}\cdot DC + AC^{2}\cdot BD - BD^{2}\cdot DC - DC^{2}\cdot BD$

$AD^{2}\cdot(D C+B D)=AB^{2}\cdot DC + AC^{2}\cdot BD - BD \cdot DC(BD+DC)$

$AD^{2}=\dfrac{AB^{2}\cdot DC}{BD+DC}+\dfrac{AC^{2}\cdot BD}{BD+DC} - BD \cdot DC$

$AD^{2}=\dfrac{AB^{2}\cdot DC}{BC}+\dfrac{A C^{2}\cdot BD}{BC}-BD \cdot DC$