Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- math-public:teoremy-o-srednej-linii-treugolnika-i-trapecii-zamechatelnoe-svojstvo-trapecii [2016/10/07 11:45] – labreslav
+++ math-public:teoremy-o-srednej-linii-treugolnika-i-trapecii-zamechatelnoe-svojstvo-trapecii [2017/02/07 17:56] (текущий) – labreslav
@@ Строка 1: / Строка 1: @@
+=====Теорема о средней линии трапеции=====
+{{ :math-public:pic132165.jpg?200|}}
+==== Теорема: ====
+ Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.
+=== Доказательство: ===
+Пусть  $MN$  - средняя линия трапеции  $ABCD$ .
+Докажем, что  $MN\parallel AD$  и  $\frac{AD+BC}{2}=MN$ .
+По правилу многоугольника имеем:
+  *  $\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CN}$
+  * $\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DN}$
+Сложив эти равенства, получим:
+ $2\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{CN}+\overrightarrow{DN}$ .
+Но  $M$  и  $N$  - середины сторон  $AB$  и  $CD$ , поэтому
+ $\overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MA} = \overrightarrow{0}$  и  $\overrightarrow{CN} + \overrightarrow{DN} = \overrightarrow{0}$ .
+Следовательно,  $2\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC}$ .
+Откуда  $\overrightarrow{MN} = \frac{\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC}}{2}$ .
+Так как векторы  $\overrightarrow{AD}$  и  $\overrightarrow{BC}$  сонаправлены, то векторы  $\overrightarrow{MN}$  и  $\overrightarrow{AD}$  также сонаправлены, и  $|\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC}|=|AD|+|BC|$ .
+Отсюда следует, что  $MN\parallel AD$  и  $MN$  =  $\frac{AD+BC}{2}$ .