Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- math-public:teoremy-o-srednej-linii-treugolnika-i-trapecii-zamechatelnoe-svojstvo-trapecii [2016/10/26 13:05] – [Теорема:] labreslav
+++ math-public:teoremy-o-srednej-linii-treugolnika-i-trapecii-zamechatelnoe-svojstvo-trapecii [2017/02/07 17:56] (текущий) – labreslav
@@ Строка 1: / Строка 1: @@
+=====Теорема о средней линии трапеции=====
+{{ :math-public:pic132165.jpg?200|}}
+==== Теорема: ====
+ Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.
+=== Доказательство: ===
+Пусть $MN$ - средняя линия трапеции $ABCD$.
+Докажем, что $MN\parallel AD$ и $\frac{AD+BC}{2}=MN$.
+По правилу многоугольника имеем:
+  * $\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CN}$
+  *$\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DN}$
+Сложив эти равенства, получим:
+$2\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{CN}+\overrightarrow{DN}$.
+Но $M$ и $N$ - середины сторон $AB$ и $CD$, поэтому
+$\overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MA} = \overrightarrow{0}$ и $\overrightarrow{CN} + \overrightarrow{DN} = \overrightarrow{0}$.
+Следовательно, $2\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC}$.
+Откуда $\overrightarrow{MN} = \frac{\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC}}{2}$.
+Так как векторы $\overrightarrow{AD}$ и $\overrightarrow{BC}$ сонаправлены, то векторы $\overrightarrow{MN}$ и $\overrightarrow{AD}$ также сонаправлены, и $|\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC}|=|AD|+|BC|$.
+Отсюда следует, что $MN\parallel AD$ и $MN$ = $\frac{AD+BC}{2}$.