Трапеция

Определение

Трапецией называется четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны.

Замечание

Сумма углов при боковой стороне трапеции равна .

Доказательство

Действительно, так как основания трапеции параллельны, а боковая сторона является секущей, то углы при боковой стороне являются внутренними односторонними углами при параллельных прямых, и, следовательно, их сумма равна .

Определение

Трапеция называется равнобедренной, если ее боковые стороны равны.

Трапеция называется прямоугольной, если один из ее углов равен .

Свойства равнобедренной трапеции

Углы при основании равнобедренной трапеции равны.

Диагонали равнобедренной трапеции равны.

Диагонали равнобедренной трапеции, пересекаясь, образуют два равных и два равнобедренных треугольника.

Проекция боковой стороны равнобедренной трапеции на основание равна полуразности оснований, а проекция диагонали – полусумме оснований.

Доказательство

Докажем первый пункт теоремы.

Рассмотрим равнобедренную трапецию , .

Докажем, что .

Проведем из точек и высоты и .

Треугольники и равны по катету и гипотенузе ($AB=CD, BE=CF$).

Следовательно, .

Докажем второй пункт теоремы.

В равнобедренной трапеции рассмотрим треугольники и .

Они равны по первому признаку (, – общая, по первому пункту).

Следовательно, .

Докажем третий пункт теоремы.

Пусть диагонали равнобедренной трапеции пересекаются в точке . Докажем, что треугольники и – равнобедренные, а треугольники и равны.

Действительно, во втором пункте уже было доказано, что .

Следовательно, , а так как они накрест лежащие с углами и соответственно, то , что и означает, что треугольники и – равнобедренные.

Тогда и , и как следствие, по третьему признаку равенства треугольников.

Докажем четвертый пункт теоремы.

Так как (по катету и гипотенузе), то .

Кроме того, , следовательно, и .

Признаки равнобедренной трапеции

Если углы при основании трапеции равны, то она равнобедренная.

Если диагонали трапеции равны, то она равнобедренная.

Доказательство

Докажем первый пункт теоремы.

Рассмотрим трапецию , в которой .

Докажем, что тогда , то есть трапеция равнобедренная.

Проведем из вершины отрезок параллельный стороне .

Тогда , как соответственные углы.

Следовательно, , а тогда – равнобедренный.

А поскольку ( – параллелограмм), то .

Докажем второй пункт теоремы.

Рассмотрим трапецию , у которой .

Докажем, что тогда .

Построим из точки прямую, параллельный диагонали . Пусть она пересекает прямую в точке .

Тогда , так как – параллелограмм по определению.

Тогда – равнобедренный, так как .

Следовательно , и – равнобедренный.

Тогда и .

Следовательно, по первому признаку ( - как вертикальные).

Следовательно, .

Теорема (о равнобедренной трапеции с перпендикулярными диагоналями)

В равнобедренной трапеции со взаимно перпендикулярными диагоналями высота равна средней линии.

Доказательство

Рассмотрим равнобедренную трапецию , в которой .

Докажем, что в такой трапеции высота равна средней линии то есть полусумме оснований.

Действительно, – равнобедренный и прямоугольный, следовательно, . Тогда – равнобедренный, то есть .

Но отрезок равен полусумме оснований.