math-public:trapeciya
Различия
Показаны различия между двумя версиями страницы.
Предыдущая версия справа и слеваПредыдущая версия | |||
math-public:trapeciya [2016/04/13 19:38] – [Доказательство] labreslav | math-public:trapeciya [2016/04/13 23:56] (текущий) – [Доказательство] labreslav | ||
---|---|---|---|
Строка 1: | Строка 1: | ||
+ | ======Трапеция====== | ||
+ | =====Определение===== | ||
+ | Трапецией называется четырехугольник, | ||
+ | параллельны, | ||
+ | |||
+ | {{: | ||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | |||
+ | =====Замечание===== | ||
+ | Сумма углов при боковой стороне трапеции равна $180^\circ$. | ||
+ | ====Доказательство==== | ||
+ | Действительно, | ||
+ | сторона является секущей, | ||
+ | внутренними односторонними углами при параллельных прямых, | ||
+ | следовательно, | ||
+ | |||
+ | =====Определение===== | ||
+ | |||
+ | - Трапеция называется равнобедренной, | ||
+ | - Трапеция называется прямоугольной, | ||
+ | |||
+ | {{: | ||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | =====Свойства равнобедренной трапеции===== | ||
+ | |||
+ | - Углы при основании равнобедренной трапеции равны. | ||
+ | - Диагонали равнобедренной трапеции равны. | ||
+ | - Диагонали равнобедренной трапеции, | ||
+ | - Проекция боковой стороны равнобедренной трапеции на основание равна полуразности оснований, | ||
+ | |||
+ | {{: | ||
+ | {{: | ||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | ====Доказательство==== | ||
+ | ===Докажем первый пункт теоремы.=== | ||
+ | |||
+ | Рассмотрим равнобедренную трапецию $ABCD$, $AB=CD$. | ||
+ | |||
+ | Докажем, | ||
+ | |||
+ | Проведем из точек $B$ и $C$ высоты $BE$ и $CF$. | ||
+ | |||
+ | Треугольники $\triangle ABE$ и $\triangle CFD$ равны по катету и гипотенузе ($AB=CD, | ||
+ | BE=CF$). | ||
+ | |||
+ | Следовательно, | ||
+ | |||
+ | ===Докажем второй пункт теоремы.=== | ||
+ | |||
+ | В равнобедренной трапеции $ABCD$ рассмотрим треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle ACD$. | ||
+ | |||
+ | Они равны по первому признаку ($AB=CD$, $AD$ -- общая, $\angle A=\angle D$ по | ||
+ | первому пункту). | ||
+ | |||
+ | Следовательно, | ||
+ | |||
+ | ===Докажем третий пункт теоремы.=== | ||
+ | |||
+ | Пусть диагонали равнобедренной трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $O$. Докажем, | ||
+ | |||
+ | Действительно, | ||
+ | |||
+ | Следовательно, | ||
+ | и означает, | ||
+ | |||
+ | Тогда $AO=OD$ и $BO=OC$, и как следствие, | ||
+ | третьему признаку равенства треугольников. | ||
+ | |||
+ | ===Докажем четвертый пункт теоремы.=== | ||
+ | Так как $\triangle AEB=\triangle CFD$ (по катету и | ||
+ | гипотенузе), | ||
+ | |||
+ | Кроме того, $EF=BC$, следовательно, | ||
+ | $AF=\dfrac{AD-BC}{2}+BC=\dfrac{AD+BC}{2}$. | ||
+ | |||
+ | =====Признаки равнобедренной трапеции===== | ||
+ | - Если углы при основании трапеции равны, то она равнобедренная. | ||
+ | - Если диагонали трапеции равны, то она равнобедренная. | ||
+ | |||
+ | {{: | ||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | ====Доказательство==== | ||
+ | ===Докажем первый пункт теоремы.=== | ||
+ | |||
+ | Рассмотрим трапецию $ABCD$, в которой $\angle A=\angle D$. | ||
+ | |||
+ | Докажем, | ||
+ | |||
+ | Проведем из вершины $C$ отрезок $CE$ параллельный стороне $AB$. | ||
+ | |||
+ | Тогда $\angle A=\angle CED$, как соответственные углы. | ||
+ | |||
+ | Следовательно, | ||
+ | |||
+ | А поскольку $AB=CE$ ($ABCE$ -- параллелограмм), | ||
+ | |||
+ | ===Докажем второй пункт теоремы.=== | ||
+ | |||
+ | Рассмотрим трапецию $ABCD$, у которой $AC=BD$. | ||
+ | |||
+ | Докажем, | ||
+ | |||
+ | Построим из точки $C$ прямую, | ||
+ | |||
+ | Тогда $BD=CF$, так как $BCFD$ -- параллелограмм по определению. | ||
+ | |||
+ | Тогда $\triangle ACF$ -- равнобедренный, | ||
+ | |||
+ | Следовательно $\angle OAD=\angle ODA$, и $\triangle AOD$ -- равнобедренный. | ||
+ | |||
+ | Тогда $AO=OD$ и $BO=OC$. | ||
+ | |||
+ | Следовательно, | ||
+ | |||
+ | Следовательно, | ||
+ | =====Теорема (о равнобедренной трапеции с перпендикулярными диагоналями)===== | ||
+ | В равнобедренной трапеции со взаимно перпендикулярными диагоналями | ||
+ | высота равна средней линии. | ||
+ | |||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | ====Доказательство==== | ||
+ | Рассмотрим равнобедренную трапецию $ABCD$, в которой $AC\perp BD$. | ||
+ | |||
+ | Докажем, | ||
+ | |||
+ | Действительно, | ||
+ | |||
+ | Но отрезок $AH$ равен полусумме оснований. | ||
math-public/trapeciya.1460565480.txt.bz2 · Последнее изменение: 2016/04/13 19:38 — labreslav