Третий признак подобия треугольников

Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то такие треугольники подобны.

Доказательство

Первый способ (не использует тригонометрию)

Пусть стороны треугольников и пропорциональны: .

Докажем, что .

Для этого, учитывая второй признак подобия треугольников, достаточно доказать, что $\angle A=\angle A_1ABC_2\angle 1=\angle A_1, \angle 2=\angle B_1$.

Треугольники и подобны по первому признаку подобия треугольников, поэтому .

Сравнивая эти равенства с первой пропорцией подобия, получаем: .

Тогда треугольники и равны по трем сторонам.

Отсюда следует, что , a так как , то .

Второй способ (использует тригонометрию).

Рассмотрим треугольники и со сторонами и .

Докажем, что если , то .

Обозначим .

Тогда .

По теореме косинусов имеем

следовательно, .

Аналогично и $\angle B=\angle B_1$.

То есть углы треугольников соответственно равны, а стороны пропорциональны, следовательно .