math-public:tretij-priznak-podobiya-treugolnikov
Различия
Показаны различия между двумя версиями страницы.
math-public:tretij-priznak-podobiya-treugolnikov [2016/04/08 16:02] – создано labreslav | math-public:tretij-priznak-podobiya-treugolnikov [2016/04/08 16:02] (текущий) – labreslav | ||
---|---|---|---|
Строка 1: | Строка 1: | ||
+ | |||
+ | =====Третий признак подобия треугольников===== | ||
+ | Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам | ||
+ | другого, | ||
+ | |||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ====Доказательство==== | ||
+ | ===Первый способ (не использует тригонометрию)=== | ||
+ | Пусть стороны треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$ пропорциональны: | ||
+ | $\dfrac{AB}{A_1B_1}=\dfrac{BC}{B_1C_1}=\dfrac{CA}{C_1A_1}$.\\ | ||
+ | |||
+ | Докажем, | ||
+ | |||
+ | Для этого, учитывая второй признак подобия треугольников, | ||
+ | A=\angle A_1$. Рассмотрим треугольник $ABC_2$, у которого $\angle 1=\angle A_1, | ||
+ | \angle 2=\angle B_1$.\\ | ||
+ | |||
+ | Треугольники $ABC_2$ и $A_1B_1C_1$ подобны по первому признаку подобия треугольников, | ||
+ | $\dfrac{AB}{A_1B_1}=\dfrac{BC_2}{B_1C_1}=\dfrac{C_2A}{C_1A_1}$.\\ | ||
+ | |||
+ | Сравнивая эти равенства с первой пропорцией подобия, | ||
+ | $BC=BC_2, CA=C_2A$.\\ | ||
+ | |||
+ | Тогда треугольники $ABC$ и $ABC_2$ равны по трем | ||
+ | сторонам.\\ | ||
+ | |||
+ | Отсюда следует, | ||
+ | то $\angle A=\angle A_1$. | ||
+ | |||
+ | ===Второй способ (использует тригонометрию).=== | ||
+ | Рассмотрим треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ со сторонами $a, b, c$ и | ||
+ | $a_1, b_1, c_1$.\\ | ||
+ | |||
+ | Докажем, | ||
+ | |||
+ | Обозначим $k=\dfrac{a}{a_1}$.\\ | ||
+ | |||
+ | Тогда $a=ka_1, b=kb_1, c=kc_1$.\\ | ||
+ | |||
+ | По теореме косинусов имеем $$\cos{C}=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=\frac{k^2a_1^2+k^2b_1^2-k^2c_1^2}{2ka_1kb_1}=\frac{k^2(a_1^2+b_1^2-c_1^2)}{k^22a_1b_1}=\frac{a_1^2+b_1^2-c_1^2}{2a_1b_1}=\cos{C_1}.$$ | ||
+ | |||
+ | следовательно, | ||
+ | |||
+ | Аналогично $\angle A=\angle A_1$ и $\angle B=\angle | ||
+ | B_1$.\\ | ||
+ | |||
+ | То есть углы треугольников соответственно равны, а стороны пропорциональны, | ||
math-public/tretij-priznak-podobiya-treugolnikov.1460120530.txt.bz2 · Последнее изменение: 2016/04/08 16:02 — labreslav