Президентский ФМЛ №239

Эта страница только для чтения. Вы можете посмотреть её исходный текст, но не можете его изменить. Сообщите администратору, если считаете, что это неправильно.
=====Основные формулы тригонометрии=====
Если $\alpha$ -- острый угол прямоугольного треугольника, то 
  - $\sin^2{\alpha}+\cos^2{\alpha}=1$
  - $\tan^2{\alpha}+1=\dfrac{1}{\cos^2{\alpha}}$
  - 
    - $\sin{(90^\circ-\alpha)}=\cos{\alpha}$
    - $\cos{(90^\circ-\alpha)}=\sin{\alpha}$
    - $\tan{(90^\circ-\alpha)}=\cot{\alpha}$

{{:math-public:076a.jpg?direct&300|}}
{{:math-public:076b.jpg?direct&300|}}

====Доказательство====
Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$, в котором $\angle C=90^\circ,
\angle A=\alpha, BC=a, AC=b, AB=c$.

Тогда 

$\sin^2{\alpha}+\cos^2{\alpha}=\dfrac{a^2}{c^2}+\dfrac{b^2}{c^2}=\dfrac{a^2+b^2}{c^2}=\dfrac{c^2}{c^2}=1$.

Если угол $\alpha$ тупой, то $\sin{\alpha}=\sin{(180^\circ-\alpha)}$ и
$\cos{\alpha}=-\cos{(180^\circ-\alpha)}$.

А так как угол $180^\circ-\alpha$ -- острый, то
$1=\sin^2{(180^\circ-\alpha)}+\cos^2{(180^\circ-\alpha)}=\sin^2{\alpha}+(-\cos{\alpha})^2=\sin^2{\alpha}+\cos^2{\alpha}$.

===Докажем второй пункт теоремы.===
$$\tan^2{\alpha}+1=\dfrac{\sin^2{\alpha}}{\cos^2{\alpha}}+1=\dfrac{\sin^2{\alpha}+\cos^2{\alpha}}{\cos^2{\alpha}}=\dfrac{1}{\cos^2{\alpha}}.$$

===Докажем третий пункт теоремы.===

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$, в котором $\angle C=90^\circ, \angle A=\alpha, BC=a, AC=b, AB=c$. Тогда
$\sin{(90^\circ-\alpha)}=\sin{B}=\dfrac{b}{c}=\cos{\alpha}$,
$\cos{(90^\circ-\alpha)}=\cos{B}=\dfrac{a}{c}=\sin{\alpha}$,
$\tan{(90^\circ-\alpha)}=\tan{B}=\dfrac{b}{a}=\cot{\alpha}$.

=====Значения тригонометрических функций стандартных углов=====

  - $\sin{30^\circ}=\dfrac{1}{2},\cos{30^\circ}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}, \tan{30^\circ}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$.
  - $\sin{60^\circ}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos{60^\circ}=\dfrac{1}{2}$, $\tan{60^\circ}=\sqrt{3}$
  - $\sin{45^\circ}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos{45^\circ}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$, $\tan{45^\circ}=1$.

{{:math-public:077a.jpg?direct&150|}}{{:math-public:077b.jpg?direct&150|}}

====Доказательство====
Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$, в котором $\a B=30^\circ$.

Тогда катет $AC$ в два раза меньше гипотенузы $AB$: $AC=x, AB=2x$.

По теореме Пифагора $BC=\sqrt{4x^2-x^2}=x\sqrt{3}$.

Тогда

$\sin{B}=\sin{30^\circ}=\dfrac{x}{2x}=\dfrac{1}{2}$,

$\cos{B}=\cos{30^\circ}=\dfrac{x\sqrt{3}}{2x}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$,

$\tan{B}=\tan{30^\circ}=\dfrac{x}{x\sqrt{3}}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$,

$\cos{A}=\cos{60^\circ}=\dfrac{x\sqrt{3}}{2x}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$,

$\sin{A}=\sin{60^\circ}=\dfrac{x}{2x}=\dfrac{1}{2}$,

$\tan{A}=\tan{60^\circ}=\frac{x\sqrt{3}}{x}=\sqrt{3}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$, в котором $\a C=90^\circ, \angle A=\angle B=45^\circ$.

Обозначим $BC=AC=x$, тогда по теореме Пифагора $AB=\sqrt{x^2+x^2}=x\sqrt{2}$.

Тогда $\sin{A}=\sin{45^\circ}=\dfrac{x}{x\sqrt{2}}=\cos{A}=\cos{45^\circ}$.