Президентский ФМЛ №239

Эта страница только для чтения. Вы можете посмотреть её исходный текст, но не можете его изменить. Сообщите администратору, если считаете, что это неправильно.
===== Определители =====

=== Два на два ===

$\left|\begin{array}{cc} a&b\\c&d\end{array}\right|=a\cdot d-b\cdot c$

=== Три на три ===

$\left|\begin{array}{ccс} x_1&x_2&x_3\\y_1&y_2&y_3\\z_1&z_2&z_3\end{array}\right|=x_1\cdot\left|\begin{array}{cc}y_2&y_3\\z_2&z_3\end{array}\right|-x_2\cdot\left|\begin{array}{cc} y_1&y_3\\z_1&z_3\end{array}\right|+x_3\cdot\left|\begin{array}{cc} y_1&y_2\\z_1&z_2\end{array}\right|$

=== Три на три с векторами ===

$\left|\begin{array}{ccс}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\y_1&y_2&y_3\\z_1&z_2&z_3\end{array}\right|=\vec{i}\cdot\left|\begin{array}{cc}y_2&y_3\\z_2&z_3\end{array}\right|-\vec{j}\cdot\left|\begin{array}{cc} y_1&y_3\\z_1&z_3\end{array}\right|+\vec{k}\cdot\left|\begin{array}{cc}y_1&y_2\\z_1&z_2\end{array}\right|=\left(y_2z_3-y_3z_2;-y_1z_3+y_3z_1; y_1z_2-y_2z_1\right)$

===== Основные формулы =====

^Координаты вектора  ^Длина вектора  ^Середина отрезка  ^Точка на отрезке  |
|[[:math-public:vectorniy_metod_v_prostranstve|{{  :math-public:координаты_вектора.jpg?nolink&300  |1}}]]  |[[:math-public:vectorniy_metod_v_prostranstve|{{  :math-public:длина_вектора.jpg?nolink&300  |1}}]]  |[[:math-public:vectorniy_metod_v_prostranstve|{{  :math-public:середина_отрезка.jpg?nolink&300  |1}}]]  |[[:math-public:vectorniy_metod_v_prostranstve|{{  :math-public:точка_на_отрезке.jpg?nolink&300  |1}}]]  |
|$\overrightarrow{AB}=(x_1-x_2; y_1-y_2;z_1-z_2)$ \\   \\ $A(x_1;y_1;z_1);$ \\ $B(x_2;y_2;z_2)$  |$|\vec{a}|=\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}$ \\   \\ $\vec{a}=(a_x;a_y;a_z)$  |$M=\left(\dfrac{x_1+x_2}{2}, \dfrac{y_1+y_2}{2}, \dfrac{z_1+z_2}{2}\right)$  |$C=\left(\dfrac{\beta x_1+\alpha x_2}{\alpha+\beta}, \dfrac{\beta y_1+\alpha y_2}{\alpha+\beta}, \dfrac{\beta z_1+\alpha z_2}{\alpha+\beta}\right)$  |

^Скалярное произведение  ^Проекция вектора на вектор  ^Угол между векторами  |
|[[:math-public:vectorniy_metod_v_prostranstve|{{  :math-public:скалярное_произведение_векторов.jpg?nolink&300  |1}}]]  |[[:math-public:vectorniy_metod_v_prostranstve|{{  :math-public:проекция_вектора_на_вектор.jpg?nolink&300  |1}}]]  |[[:math-public:vectorniy_metod_v_prostranstve|{{  :math-public:угол_между_векторами.jpg?nolink&300  |1}}]]  |
|$\vec{a}\cdot\vec{b}=x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2$ \\   \\ $\vec{a}=(x_1;y_1;z_1);$ \\ $\vec{b}=(x_2;y_2;z_2)$  |$pr_{\vec{a}}(\vec{b})=\left|\dfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|}\right|$  |$\angle(\vec{a},\vec{b})=\arccos\left(\dfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|}\right)$  |

^Нормаль к плоскости  ^Смешанное произведение векторов  ^Векторное произведение  |
|[[:math-public:vectorniy_metod_v_prostranstve|{{  :math-public:нормаль_к_плоскости.gif?nolink&  |1}}]]  |[[:math-public:vectorniy_metod_v_prostranstve|{{  :math-public:смешанное_произведение_векторов.gif?nolink&  |1}}]]  |[[:math-public:vectorniy_metod_v_prostranstve|{{  :math-public:векторное_произведение.gif?nolink&  |1}}]]  |
|$\vec{n}_\alpha=\left|\begin{array}{ccc} \vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\ a_x&a_y&a_z\\ b_x&b_y&b_z\end{array}\right|$ \\   \\ $\vec{a}$ и $\vec{b}$ лежат в плоскости $\alpha$ \\ $\vec{a}=(a_x;a_y;a_z), \vec{b}=(b_x;b_y;b_z)$  |$(\vec{a},\vec{b},\vec{c})=\left|\begin{array}{ccc} a_x&a_y&a_z\\ b_x&b_y&b_z\\ c_x&c_y&c_z\end{array}\right|$ \\   \\ $\vec{a}=(a_x;a_y;a_z), \vec{b}=(b_x;b_y;b_z), \vec{c}=(c_x;c_y;c_z)$  |$\vec{a}\times\vec{b}=\left|\begin{array}{ccc} \vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\ a_x&a_y&a_z\\ b_x&b_y&b_z\end{array}\right|$ \\   \\ $\vec{a}=(a_x;a_y;a_z), \vec{b}=(b_x;b_y;b_z)$  |

===== Углы =====

^Угол между двумя прямыми^Угол между прямой и плоскостью^Угол между двумя плоскостями|
|[[:math-public:vectorniy_metod_v_prostranstve|{{  :math-public:угол_между_двумя_прямыми.gif?nolink&  |1}}]]  |[[:math-public:vectorniy_metod_v_prostranstve|{{  :math-public:угол_между_прямой_и_плоскостью.gif?nolink&  |1}}]]  |[[:math-public:vectorniy_metod_v_prostranstve|{{:math-public:угол_между_двумя_плоскостями.gif?nolink&  |1}}]]  |
|$\angle (l_1;l_2)=arccos\left(\left|\dfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|}\right|\right)$ \\   \\ $\vec{a}$ и $\vec{b}$ – направляющие вектора прямых $l_1$ и $l_2$|$\angle(l;\alpha)=arcsin\left(\left|\dfrac{\vec{a}\cdot\vec{n}_\alpha}{|\vec{a}|\cdot|\vec{n}_\alpha|}\right|\right)$ \\   \\ $\vec{a}$ и $\vec{b}$ лежат в плоскости $\alpha$ \\ $\vec{c}$ соединяет точку $A$ и любую точку из плоскости $\alpha$  |$\angle(\alpha;\beta)=arccos\left(\left|\dfrac{\vec{n}_1\cdot\vec{n}_2}{|\vec{n}_1|\cdot|\vec{n}_2|}\right|\right)$ \\   \\ $\vec{n}_1$ и $\vec{n}_2$ – нормали к плоскостям $\alpha$ и $\beta$  |

===== Расстояния =====

^Расстояние между двумя точками  ^Расстояние от точки до прямой  ^Расстояние от точки до плоскости  ^Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми  |
|[[:math-public:vectorniy_metod_v_prostranstve|{{  :math-public:расстояние_между_двумя_точками.jpg?nolink&  |1}}]]  |  [[:math-public:vectorniy_metod_v_prostranstve|{{  :math-public:расстояние_от_точки_до_прямой.jpg?nolink&  |1}}]]   |[[:math-public:vectorniy_metod_v_prostranstve|{{  :math-public:расстояние_от_точки_до_плоскости.gif?nolink&  |1}}]]  |[[:math-public:vectorniy_metod_v_prostranstve|{{:math-public:расстояние_между_двумя_прямыми.gif?nolink&  |1}}]]  |
|$|AB|=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2+(z_1-z_2)^2}$ \\   \\ $A(x_1;y_1;z_1)$ \\ $B(x_2;y_2;z_2)$  |$\rho(A;l)=\dfrac{|\vec{a}\times\vec{c}|}{|\vec{a}|}$  |$\rho(A;\alpha)=\left|\dfrac{(\vec{a},\vec{b},\vec{c})}{|\vec{a}\times\vec{b}|}\right|$ \\   \\ $\vec{a}$ и $\vec{b}$ лежат в плоскости $\alpha$ \\ $\vec{c}$ соединяет точку $A$ и любую точку из плоскости $\alpha$  |$\rho(l_1;l_2)=\left|\dfrac{(\vec{a},\vec{b},\vec{c})}{|\vec{a}\times\vec{b}|}\right|$ \\   \\ $\vec{a}$ и $\vec{b}$ – направляющие вектора прямых \\ $\vec{c}$ произвольный вектор, соединяющий прямые $l_1$ и $l_2$  |

===== Объёмы =====

^Объём тетраэдра  ^Объём параллелепипеда  |
|[[:math-public:vectorniy_metod_v_prostranstve|{{  :math-public:объем_тетраэдра.jpg?nolink&180  |1}}]]  |[[:math-public:vectorniy_metod_v_prostranstve|{{  :math-public:объем_параллелепипеда.jpg?nolink&180  |1}}]]  |
|$V=\dfrac{1}{6}\left|(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c})\right|$  |$V=\left|(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c})\right|$  |

\\