| Предыдущая версия справа и слеваПредыдущая версияСледующая версия | Предыдущая версия |
| math-public:vectorniy_metod_v_prostranstve [2018/04/28 09:53] – labreslav | math-public:vectorniy_metod_v_prostranstve [2018/05/06 21:11] (текущий) – labreslav |
|---|
| =====Определители===== | ===== Определители ===== |
| ===Два на два=== | |
| | === Два на два === |
| $\left|\begin{array}{cc} a&b\\c&d\end{array}\right|=a\cdot d-b\cdot c$ | $\left|\begin{array}{cc} a&b\\c&d\end{array}\right|=a\cdot d-b\cdot c$ |
| ===Три на три=== | |
| | === Три на три === |
| $\left|\begin{array}{ccс} x_1&x_2&x_3\\y_1&y_2&y_3\\z_1&z_2&z_3\end{array}\right|=x_1\cdot\left|\begin{array}{cc}y_2&y_3\\z_2&z_3\end{array}\right|-x_2\cdot\left|\begin{array}{cc} y_1&y_3\\z_1&z_3\end{array}\right|+x_3\cdot\left|\begin{array}{cc} y_1&y_2\\z_1&z_2\end{array}\right|$ | $\left|\begin{array}{ccс} x_1&x_2&x_3\\y_1&y_2&y_3\\z_1&z_2&z_3\end{array}\right|=x_1\cdot\left|\begin{array}{cc}y_2&y_3\\z_2&z_3\end{array}\right|-x_2\cdot\left|\begin{array}{cc} y_1&y_3\\z_1&z_3\end{array}\right|+x_3\cdot\left|\begin{array}{cc} y_1&y_2\\z_1&z_2\end{array}\right|$ |
| |
| ===Три на три с векторами=== | === Три на три с векторами === |
| $\left|\begin{array}{ccс}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\y_1&y_2&y_3\\z_1&z_2&z_3\end{array}\right|=\vec{i}\cdot\left|\begin{array}{cc}y_2&y_3\\z_2&z_3\end{array}\right|-\vec{j}\cdot\left|\begin{array}{cc} y_1&y_3\\z_1&z_3\end{array}\right|+\vec{k}\cdot\left|\begin{array}{cc}y_1&y_2\\z_1&z_2\end{array}\right|=\left(y_2z_3-y_3z_2;-y_1z_3+y_3z_1; y_1z_2-y_2z_1\right)$ | |
| |
| =====Основные формулы===== | $\left|\begin{array}{ccс}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\y_1&y_2&y_3\\z_1&z_2&z_3\end{array}\right|=\vec{i}\cdot\left|\begin{array}{cc}y_2&y_3\\z_2&z_3\end{array}\right|-\vec{j}\cdot\left|\begin{array}{cc} y_1&y_3\\z_1&z_3\end{array}\right|+\vec{k}\cdot\left|\begin{array}{cc}y_1&y_2\\z_1&z_2\end{array}\right|=\left(y_2z_3-y_3z_2;-y_1z_3+y_3z_1; y_1z_2-y_2z_1\right)$ |
| | |
| | ===== Основные формулы ===== |
| |
| ^Координаты вектора ^Длина вектора ^Середина отрезка ^Точка на отрезке | | ^Координаты вектора ^Длина вектора ^Середина отрезка ^Точка на отрезке | |
| |[[:math-public:vectorniy_metod_v_prostranstve|{{ :math-public:координаты_вектора.jpg?nolink& |1}}]] |[[:math-public:vectorniy_metod_v_prostranstve|{{ :math-public:длина_вектора.jpg?200nolink& |1}}]] |[[:math-public:vectorniy_metod_v_prostranstve|{{ :math-public:середина_отрезка.jpg?nolink& |1}}]] |[[:math-public:vectorniy_metod_v_prostranstve|{{ :math-public:точка_на_отрезке.jpg?nolink& |1}}]] | | |[[:math-public:vectorniy_metod_v_prostranstve|{{ :math-public:координаты_вектора.jpg?nolink&300 |1}}]] |[[:math-public:vectorniy_metod_v_prostranstve|{{ :math-public:длина_вектора.jpg?nolink&300 |1}}]] |[[:math-public:vectorniy_metod_v_prostranstve|{{ :math-public:середина_отрезка.jpg?nolink&300 |1}}]] |[[:math-public:vectorniy_metod_v_prostranstve|{{ :math-public:точка_на_отрезке.jpg?nolink&300 |1}}]] | |
| |$\overrightarrow{AB}=(x_1-x_2; y_1-y_2;z_1-z_2)$ \\ \\ $A(x_1;y_1;z_1);$ \\ $B(x_2;y_2;z_2)$ |$|\vec{a}|=\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}$ \\ \\ $\vec{a}=(a_x;a_y;a_z)$ |$M=\left(\dfrac{x_1+x_2}{2}, \dfrac{y_1+y_2}{2}, \dfrac{z_1+z_2}{2}\right)$ |$C=\left(\dfrac{\beta x_1+\alpha x_2}{\alpha+\beta}, \dfrac{\beta y_1+\alpha y_2}{\alpha+\beta}, \dfrac{\beta z_1+\alpha z_2}{\alpha+\beta}\right)$ | | |$\overrightarrow{AB}=(x_1-x_2; y_1-y_2;z_1-z_2)$ \\ \\ $A(x_1;y_1;z_1);$ \\ $B(x_2;y_2;z_2)$ |$|\vec{a}|=\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}$ \\ \\ $\vec{a}=(a_x;a_y;a_z)$ |$M=\left(\dfrac{x_1+x_2}{2}, \dfrac{y_1+y_2}{2}, \dfrac{z_1+z_2}{2}\right)$ |$C=\left(\dfrac{\beta x_1+\alpha x_2}{\alpha+\beta}, \dfrac{\beta y_1+\alpha y_2}{\alpha+\beta}, \dfrac{\beta z_1+\alpha z_2}{\alpha+\beta}\right)$ | |
| |
| \\ | ^Скалярное произведение ^Проекция вектора на вектор ^Угол между векторами | |
| | |[[:math-public:vectorniy_metod_v_prostranstve|{{ :math-public:скалярное_произведение_векторов.jpg?nolink&300 |1}}]] |[[:math-public:vectorniy_metod_v_prostranstve|{{ :math-public:проекция_вектора_на_вектор.jpg?nolink&300 |1}}]] |[[:math-public:vectorniy_metod_v_prostranstve|{{ :math-public:угол_между_векторами.jpg?nolink&300 |1}}]] | |
| | |$\vec{a}\cdot\vec{b}=x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2$ \\ \\ $\vec{a}=(x_1;y_1;z_1);$ \\ $\vec{b}=(x_2;y_2;z_2)$ |$pr_{\vec{a}}(\vec{b})=\left|\dfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|}\right|$ |$\angle(\vec{a},\vec{b})=\arccos\left(\dfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|}\right)$ | |
| |
| | ^Нормаль к плоскости ^Смешанное произведение векторов ^Векторное произведение | |
| | |[[:math-public:vectorniy_metod_v_prostranstve|{{ :math-public:нормаль_к_плоскости.gif?nolink& |1}}]] |[[:math-public:vectorniy_metod_v_prostranstve|{{ :math-public:смешанное_произведение_векторов.gif?nolink& |1}}]] |[[:math-public:vectorniy_metod_v_prostranstve|{{ :math-public:векторное_произведение.gif?nolink& |1}}]] | |
| | |$\vec{n}_\alpha=\left|\begin{array}{ccc} \vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\ a_x&a_y&a_z\\ b_x&b_y&b_z\end{array}\right|$ \\ \\ $\vec{a}$ и $\vec{b}$ лежат в плоскости $\alpha$ \\ $\vec{a}=(a_x;a_y;a_z), \vec{b}=(b_x;b_y;b_z)$ |$(\vec{a},\vec{b},\vec{c})=\left|\begin{array}{ccc} a_x&a_y&a_z\\ b_x&b_y&b_z\\ c_x&c_y&c_z\end{array}\right|$ \\ \\ $\vec{a}=(a_x;a_y;a_z), \vec{b}=(b_x;b_y;b_z), \vec{c}=(c_x;c_y;c_z)$ |$\vec{a}\times\vec{b}=\left|\begin{array}{ccc} \vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\ a_x&a_y&a_z\\ b_x&b_y&b_z\end{array}\right|$ \\ \\ $\vec{a}=(a_x;a_y;a_z), \vec{b}=(b_x;b_y;b_z)$ | |
| |
| | ===== Углы ===== |
| |
| ^ Скалярное произведение ^ Проекция вектора на вектор ^ Угол между векторами ^ | ^Угол между двумя прямыми^Угол между прямой и плоскостью^Угол между двумя плоскостями| |
| | [[|{{ скалярное_произведение_векторов.jpg?nolink |1}}]] | [[|{{ проекция_вектора_на_вектор.jpg?nolink |1}}]] | [[|{{ угол_между_векторами.jpg?nolink |1}}]] | | |[[:math-public:vectorniy_metod_v_prostranstve|{{ :math-public:угол_между_двумя_прямыми.gif?nolink& |1}}]] |[[:math-public:vectorniy_metod_v_prostranstve|{{ :math-public:угол_между_прямой_и_плоскостью.gif?nolink& |1}}]] |[[:math-public:vectorniy_metod_v_prostranstve|{{:math-public:угол_между_двумя_плоскостями.gif?nolink& |1}}]] | |
| | $\vec{a}\cdot\vec{b}=x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2$\\ \\ $\vec{a}=(x_1;y_1;z_1);$\\ $\vec{b}=(x_2;y_2;z_2)$ | $pr_{\vec{a}}(\vec{b})=\left|\dfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|}\right|$ | $\angle(\vec{a},\vec{b})=\arccos\left(\dfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|}\right)$ | | |$\angle (l_1;l_2)=arccos\left(\left|\dfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|}\right|\right)$ \\ \\ $\vec{a}$ и $\vec{b}$ – направляющие вектора прямых $l_1$ и $l_2$|$\angle(l;\alpha)=arcsin\left(\left|\dfrac{\vec{a}\cdot\vec{n}_\alpha}{|\vec{a}|\cdot|\vec{n}_\alpha|}\right|\right)$ \\ \\ $\vec{a}$ и $\vec{b}$ лежат в плоскости $\alpha$ \\ $\vec{c}$ соединяет точку $A$ и любую точку из плоскости $\alpha$ |$\angle(\alpha;\beta)=arccos\left(\left|\dfrac{\vec{n}_1\cdot\vec{n}_2}{|\vec{n}_1|\cdot|\vec{n}_2|}\right|\right)$ \\ \\ $\vec{n}_1$ и $\vec{n}_2$ – нормали к плоскостям $\alpha$ и $\beta$ | |
| |
| | ===== Расстояния ===== |
| |
| ^ Нормаль к плоскости ^ Смешанное произведение векторов ^ Векторное произведение ^ | ^Расстояние между двумя точками ^Расстояние от точки до прямой ^Расстояние от точки до плоскости ^Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми | |
| | [[|{{ нормаль_к_плоскости.gif?nolink |1}}]] | [[|{{ смешанное_произведение_векторов.gif?nolink |1}}]] | [[|{{ векторное_произведение.gif?nolink |1}}]] | | |[[:math-public:vectorniy_metod_v_prostranstve|{{ :math-public:расстояние_между_двумя_точками.jpg?nolink& |1}}]] | [[:math-public:vectorniy_metod_v_prostranstve|{{ :math-public:расстояние_от_точки_до_прямой.jpg?nolink& |1}}]] |[[:math-public:vectorniy_metod_v_prostranstve|{{ :math-public:расстояние_от_точки_до_плоскости.gif?nolink& |1}}]] |[[:math-public:vectorniy_metod_v_prostranstve|{{:math-public:расстояние_между_двумя_прямыми.gif?nolink& |1}}]] | |
| | $\vec{n}_\alpha=\left|\begin{array}{ccc} \vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\ a_x&a_y&a_z\\ b_x&b_y&b_z\end{array}\right|$\\ \\ $\vec{a}$ и $\vec{b}$ лежат в плоскости $\alpha$\\ $\vec{a}=(a_x;a_y;a_z), \vec{b}=(b_x;b_y;b_z)$ | $(\vec{a},\vec{b},\vec{c})=\left|\begin{array}{ccc} a_x&a_y&a_z\\ b_x&b_y&b_z\\ c_x&c_y&c_z\end{array}\right|$\\ \\ $\vec{a}=(a_x;a_y;a_z), \vec{b}=(b_x;b_y;b_z), \vec{c}=(c_x;c_y;c_z)$ | $\vec{a}\times\vec{b}=\left|\begin{array}{ccc} \vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\ a_x&a_y&a_z\\ b_x&b_y&b_z\end{array}\right|$\\ \\ $\vec{a}=(a_x;a_y;a_z), \vec{b}=(b_x;b_y;b_z)$ | | |$|AB|=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2+(z_1-z_2)^2}$ \\ \\ $A(x_1;y_1;z_1)$ \\ $B(x_2;y_2;z_2)$ |$\rho(A;l)=\dfrac{|\vec{a}\times\vec{c}|}{|\vec{a}|}$ |$\rho(A;\alpha)=\left|\dfrac{(\vec{a},\vec{b},\vec{c})}{|\vec{a}\times\vec{b}|}\right|$ \\ \\ $\vec{a}$ и $\vec{b}$ лежат в плоскости $\alpha$ \\ $\vec{c}$ соединяет точку $A$ и любую точку из плоскости $\alpha$ |$\rho(l_1;l_2)=\left|\dfrac{(\vec{a},\vec{b},\vec{c})}{|\vec{a}\times\vec{b}|}\right|$ \\ \\ $\vec{a}$ и $\vec{b}$ – направляющие вектора прямых \\ $\vec{c}$ произвольный вектор, соединяющий прямые $l_1$ и $l_2$ | |
| |
| | ===== Объёмы ===== |
| |
| =====Углы===== | ^Объём тетраэдра ^Объём параллелепипеда | |
| | |[[:math-public:vectorniy_metod_v_prostranstve|{{ :math-public:объем_тетраэдра.jpg?nolink&180 |1}}]] |[[:math-public:vectorniy_metod_v_prostranstve|{{ :math-public:объем_параллелепипеда.jpg?nolink&180 |1}}]] | |
| ^Угол между двумя прямыми^Угол между прямой и плоскостью^Угол между двумя плоскостями^ | |$V=\dfrac{1}{6}\left|(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c})\right|$ |$V=\left|(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c})\right|$ | |
| |[[|{{ угол_между_двумя_прямыми.gif?&nolink |1}}]] |[[|{{ угол_между_прямой_и_плоскостью.gif?&nolink |1}}]] |[[|{{угол_между_двумя_плоскостями.gif?&nolink |1}}]] | | |
| |$\angle (l_1;l_2)=arccos\left(\left|\dfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|}\right|\right)$\\ \\ $\vec{a}$ и $\vec{b}$ -- направляющие вектора прямых $l_1$ и $l_2$|$\angle(l;\alpha)=arcsin\left(\left|\dfrac{\vec{a}\cdot\vec{n}_\alpha}{|\vec{a}|\cdot|\vec{n}_\alpha|}\right|\right)$\\ \\ $\vec{a}$ и $\vec{b}$ лежат в плоскости $\alpha$\\ $\vec{c}$ соединяет точку $A$ и любую точку из плоскости $\alpha$ |$\angle(\alpha;\beta)=arccos\left(\left|\dfrac{\vec{n}_1\cdot\vec{n}_2}{|\vec{n}_1|\cdot|\vec{n}_2|}\right|\right)$\\ \\ $\vec{n}_1$ и $\vec{n}_2$ -- нормали к плоскостям $\alpha$ и $\beta$ | | |
| |
| | \\ |
| |
| =====Расстояния===== | |
| ^ Расстояние между двумя точками ^ Расстояние от точки до прямой ^ Расстояние от точки до плоскости ^ Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми ^ | |
| | [[|{{ расстояние_между_двумя_точками.jpg?nolink |1}}]] | [[|{{ расстояние_от_точки_до_прямой.jpg?nolink |1}}]] | [[|{{ расстояние_от_точки_до_плоскости.gif?nolink |1}}]] | [[|{{расстояние_между_двумя_прямыми.gif?nolink |1}}]] | | |
| | $|AB|=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2+(z_1-z_2)^2}$\\ \\ $A(x_1;y_1;z_1)$\\ $B(x_2;y_2;z_2)$ | $\rho(A;l)=\dfrac{|\vec{a}\times\vec{c}|}{|\vec{a}|}$ | $\rho(A;\alpha)=\left|\dfrac{(\vec{a},\vec{b},\vec{c})}{|\vec{a}\times\vec{b}|}\right|$\\ \\ $\vec{a}$ и $\vec{b}$ лежат в плоскости $\alpha$\\ $\vec{c}$ соединяет точку $A$ и любую точку из плоскости $\alpha$ | $\rho(l_1;l_2)=\left|\dfrac{(\vec{a},\vec{b},\vec{c})}{|\vec{a}\times\vec{b}|}\right|$\\ \\ $\vec{a}$ и $\vec{b}$ -- направляющие вектора прямых\\ $\vec{c}$ произвольный вектор, соединяющий прямые $l_1$ и $l_2$ | | |
| |
| =====Объёмы===== | |
| ^ Объём тетраэдра ^ Объём параллелепипеда ^ | |
| | [[|{{ объем_тетраэдра.jpg?180&nolink |1}}]] | [[|{{ объем_параллелепипеда.jpg?180&nolink |1}}]] | | |
| | $V=\dfrac{1}{6}\left|(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c})\right|$ | $V=\left|(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c})\right|$ | | |
