math-public:vectorniy_metod_v_prostranstve_thm
Различия
Показаны различия между двумя версиями страницы.
Предыдущая версия справа и слеваПредыдущая версияСледующая версия | Предыдущая версияПоследняя версияСледующая версия справа и слева | ||
math-public:vectorniy_metod_v_prostranstve_thm [2018/04/19 11:17] – labreslav | math-public:vectorniy_metod_v_prostranstve_thm [2019/04/02 18:45] – labreslav | ||
---|---|---|---|
Строка 1: | Строка 1: | ||
+ | - $cos{\hat{(l, | ||
+ | - $\sin{\hat{(l, | ||
+ | - $\cos{\hat{(\alpha, | ||
+ | - $\rho(A, | ||
+ | - $\rho(l, | ||
+ | - $S_{ABC}=\dfrac{1}{2}\cdot|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}|$ -- площадь треугольника | ||
+ | - $V_{ABCD}=\dfrac{1}{6}|(\vec{a}, | ||
+ | - $V_{ABCDA_1B_1C_1D_1}=|(\vec{a}, | ||
+ | - $\rho(A,l) = \dfrac{|\vec{c}\times\vec{v}|}{|\vec{v}|}$ -- расстояние от точки до прямой | ||
+ | |||
+ | ====Теорема 1==== | ||
+ | Угол между прямой $l$ и плоскостью $\alpha$ можно найти из соотношения | ||
+ | $$\sin{\hat{(l, | ||
+ | где $\vec{v}$ -- направляющий вектор прямой $l$, а $\vec{n}_\alpha$ -- нормаль к плоскости $\alpha$. | ||
+ | |||
+ | ---- | ||
+ | |||
+ | ====Теорема 2==== | ||
+ | Угол между плоскостями $\alpha$ и $\beta$ можно найти из соотношения | ||
+ | $$\cos{\hat{(\alpha, | ||
+ | где $\vec{n}_\alpha$ и $\vec{n}_\beta$ -- это нормали к плоскостям $\alpha$ и $\beta$ соответственно. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ---- | ||
+ | |||
===Лемма=== | ===Лемма=== | ||
Пусть даны вектора ненулевые вектора $\vec{c}$, $\vec{n}$. Длина проекции вектора $\vec{c}$ на вектор $\vec{n}$ вычисляется по формулам | Пусть даны вектора ненулевые вектора $\vec{c}$, $\vec{n}$. Длина проекции вектора $\vec{c}$ на вектор $\vec{n}$ вычисляется по формулам | ||
Строка 5: | Строка 30: | ||
- $|Pr_{\vec{n}}\vec{c}| = \left|\dfrac{\vec{c}\cdot\vec{n}}{|\vec{n}|}\right|$ | - $|Pr_{\vec{n}}\vec{c}| = \left|\dfrac{\vec{c}\cdot\vec{n}}{|\vec{n}|}\right|$ | ||
+ | ---- | ||
+ | ====Теорема 3==== | ||
+ | Расстояние от точки $A$ до плоскости $\alpha$ можно найти по формуле $$\rho(A, | ||
+ | ===Доказательство=== | ||
+ | Выберем на плоскости $\alpha$ произвольную точку $B$. Тогда $\vec{c}=\overrightarrow{AB}$. Пусть $\varphi$ -- это угол между векторами $\vec{c}$ и $\vec{n}$. | ||
+ | |||
+ | Ясно, что искомое расстояние -- это длина проекции вектора $\vec{c}$ на нормаль $\vec{n}$. | ||
+ | |||
+ | Тогда $\rho(A, | ||
+ | |||
+ | ---- | ||
- | ====Теорема==== | + | ====Теорема |
- | Расстояние | + | Расстояние |
===Доказательство=== | ===Доказательство=== | ||
- | Выберем на плоскости $\alpha$ произвольную точку $B$. Тогда $\vec{c}=\overrightarrow{AB}$. | + | Построим плоскость $\alpha$, проходящую через прямую $l$ и параллельную прямой |
- | Ясно, что искомое расстояние, это проекция | + | Вектор $\vec{n}$ будет нормалью к плоскости |
- | Пусть $\varphi$ | + | Ясно, что искомое расстояние |
- | Тогда $\rho(A,\alpha)=|Pr_{\vec{n}}{\vec{c}}|=|\vec{c}\cos{\varphi}|=\left|\dfrac{|\vec{n}|\, | + | Тогда $\rho(l,m)=|Pr_{\vec{n}}{\vec{c}}|=|\vec{c}\cos{\varphi}|=\left|\dfrac{|\vec{n}|\, |
math-public/vectorniy_metod_v_prostranstve_thm.txt · Последнее изменение: 2019/04/02 18:52 — labreslav