Президентский ФМЛ №239

Эта страница только для чтения. Вы можете посмотреть её исходный текст, но не можете его изменить. Сообщите администратору, если считаете, что это неправильно.
  - $cos{\hat{(l,m)}}=\left|\dfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}\right|$ -- угол между прямыми
  - $\sin{\hat{(l,\alpha)}}=|\cos{\hat{(\vec{n}_\alpha,\vec{v})}}|$ -- угол между прямой и плоскостью
  - $\cos{\hat{(\alpha,\beta)}}=|\cos{\hat{(\vec{n}_\alpha,\vec{n}_\beta)}}|$ -- угол между плоскостями
  - $\rho(A,\alpha)=\left|\dfrac{\vec{c}\cdot\vec{n}}{|\vec{n}|}\right|$ -- расстояние от точки до плоскости
  - $\rho(l,m)=\left|\dfrac{\vec{c}\cdot\vec{n}}{|\vec{n}|}\right|$ -- расстояние между скрещивающимися прямыми, $\vec{n}=\vec{v}_l\times\vec{v}_m$ 
  - $S_{ABC}=\dfrac{1}{2}\cdot|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}|$ -- площадь треугольника
  - $V_{ABCD}=\dfrac{1}{6}|(\vec{a},\vec{b},\vec{c})| = \dfrac{1}{6}|(\vec{a}\times\vec{b})\cdot \vec{c}|$ -- объем пирамиды
  - $V_{ABCDA_1B_1C_1D_1}=|(\vec{a},\vec{b},\vec{c})|=|(\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{c}|$ -- объем параллелепипеда
  - $\rho(A,l) = \dfrac{|\vec{c}\times\vec{v}|}{|\vec{v}|}$ -- расстояние от точки до прямой

====Теорема 1====
Угол между прямой $l$ и плоскостью $\alpha$ можно найти из соотношения
$$\sin{\hat{(l,\alpha)}}=|\cos{\hat{(\vec{n}_\alpha,\vec{v})}}|,$$
где $\vec{v}$ -- направляющий вектор прямой $l$, а $\vec{n}_\alpha$ -- нормаль к плоскости $\alpha$.

----

====Теорема 2====
Угол между плоскостями $\alpha$ и $\beta$ можно найти из соотношения
$$\cos{\hat{(\alpha,\beta)}}=|\cos{\hat{(\vec{n}_\alpha,\vec{n}_\beta)}}|,$$
где $\vec{n}_\alpha$ и $\vec{n}_\beta$ -- это нормали к плоскостям $\alpha$ и $\beta$ соответственно.


----

===Лемма===
Пусть даны вектора ненулевые вектора $\vec{c}$, $\vec{n}$. Длина проекции вектора $\vec{c}$ на вектор $\vec{n}$ вычисляется по формулам

  - $|Pr_{\vec{n}}\vec{c}| = \Big|\,|\vec{c}|\cos{\varphi}\,\Big|$
  - $|Pr_{\vec{n}}\vec{c}| = \left|\dfrac{\vec{c}\cdot\vec{n}}{|\vec{n}|}\right|$

----

====Теорема 3====
Расстояние от точки $A$ до плоскости $\alpha$ можно найти по формуле $$\rho(A,\alpha)=\left|\dfrac{\vec{c}\cdot\vec{n}}{|\vec{n}|}\right|,$$ где $\vec{c}$ -- произвольный вектор, соединяющий точку $A$ и плоскость $\alpha$, а $\vec{n}$ -- нормаль к плоскости $\alpha$.
===Доказательство===
Выберем на плоскости $\alpha$ произвольную точку $B$. Тогда $\vec{c}=\overrightarrow{AB}$. Пусть $\varphi$ -- это угол между векторами $\vec{c}$ и $\vec{n}$.

Ясно, что искомое расстояние -- это длина проекции вектора $\vec{c}$ на нормаль $\vec{n}$.

Тогда $\rho(A,\alpha)=|Pr_{\vec{n}}{\vec{c}}|=|\vec{c}\cos{\varphi}|=\left|\dfrac{|\vec{n}|\,|\vec{c}|\cos{\varphi}}{|\vec{n}|}\right|=\left|\dfrac{\vec{c}\cdot\vec{n}}{|\vec{n}|}\right|$

----

====Теорема 4====
Расстояние между скрещивающимися прямыми $l$ и $m$ можно найти по формуле $$\rho(l,m)=\left|\dfrac{\vec{c}\cdot\vec{n}}{|\vec{n}|}\right|,$$ где $\vec{c}$ -- произвольный вектор, соединяющий данные прямые, а $\vec{n}$ перпендикулярен обеим данным прямым.
===Доказательство===
Построим плоскость $\alpha$, проходящую через прямую $l$ и параллельную прямой $m$.

Вектор $\vec{n}$ будет нормалью к плоскости $\alpha$, так как он перпендикулярен обеим прямым.

Ясно, что искомое расстояние -- это длина проекции вектора $\vec{c}$ на нормаль $\vec{n}$.

Тогда $\rho(l,m)=|Pr_{\vec{n}}{\vec{c}}|=|\vec{c}\cos{\varphi}|=\left|\dfrac{|\vec{n}|\,|\vec{c}|\cos{\varphi}}{|\vec{n}|}\right|=\left|\dfrac{\vec{c}\cdot\vec{n}}{|\vec{n}|}\right|$