– угол между прямыми

– угол между прямой и плоскостью

– угол между плоскостями

– расстояние от точки до плоскости

– расстояние между скрещивающимися прямыми

– площадь треугольника

– объем пирамиды

– объем параллелепипеда

Теорема 1

Угол между прямой и плоскостью можно найти из соотношения где – направляющий вектор прямой , а – нормаль к плоскости .

Теорема 2

Угол между плоскостями и можно найти из соотношения где и – это нормали к плоскостям и соответственно.

Лемма

Пусть даны вектора ненулевые вектора , . Длина проекции вектора на вектор вычисляется по формулам

Теорема 3

Расстояние от точки до плоскости можно найти по формуле где – произвольный вектор, соединяющий точку и плоскость , а – нормаль к плоскости .

Доказательство

Выберем на плоскости произвольную точку . Тогда . Пусть – это угол между векторами и .

Ясно, что искомое расстояние – это длина проекции вектора на нормаль .

Тогда

Теорема 4

Расстояние между скрещивающимися прямыми и можно найти по формуле где – произвольный вектор, соединяющий данные прямые, а перпендикулярен обеим данным прямым.

Доказательство

Построим плоскость , проходящую через прямую и параллельную прямой .

Вектор будет нормалью к плоскости , так как вектор он перпендикулярен обеим прямым.

Ясно, что искомое расстояние – это длина проекции вектора на нормаль .

Тогда