Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- math-public:vectorniy_metod_v_prostranstve_thm [2018/04/19 11:31] – labreslav
+++ math-public:vectorniy_metod_v_prostranstve_thm [2019/04/02 18:52] (текущий) – [Теорема 4] labreslav
@@ Строка 1: / Строка 1: @@
+  - $cos{\hat{(l,m)}}=\left|\dfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}\right|$ -- угол между прямыми
+  - $\sin{\hat{(l,\alpha)}}=|\cos{\hat{(\vec{n}_\alpha,\vec{v})}}|$ -- угол между прямой и плоскостью
+  - $\cos{\hat{(\alpha,\beta)}}=|\cos{\hat{(\vec{n}_\alpha,\vec{n}_\beta)}}|$ -- угол между плоскостями
+  - $\rho(A,\alpha)=\left|\dfrac{\vec{c}\cdot\vec{n}}{|\vec{n}|}\right|$ -- расстояние от точки до плоскости
+  - $\rho(l,m)=\left|\dfrac{\vec{c}\cdot\vec{n}}{|\vec{n}|}\right|$ -- расстояние между скрещивающимися прямыми, $\vec{n}=\vec{v}_l\times\vec{v}_m$
+  - $S_{ABC}=\dfrac{1}{2}\cdot|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}|$ -- площадь треугольника
+  - $V_{ABCD}=\dfrac{1}{6}|(\vec{a},\vec{b},\vec{c})| = \dfrac{1}{6}|(\vec{a}\times\vec{b})\cdot \vec{c}|$ -- объем пирамиды
+  - $V_{ABCDA_1B_1C_1D_1}=|(\vec{a},\vec{b},\vec{c})|=|(\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{c}|$ -- объем параллелепипеда
+  - $\rho(A,l) = \dfrac{|\vec{c}\times\vec{v}|}{|\vec{v}|}$ -- расстояние от точки до прямой
+====Теорема 1====
+Угол между прямой $l$ и плоскостью $\alpha$ можно найти из соотношения
+$$\sin{\hat{(l,\alpha)}}=|\cos{\hat{(\vec{n}_\alpha,\vec{v})}}|,$$
+где $\vec{v}$ -- направляющий вектор прямой $l$, а $\vec{n}_\alpha$ -- нормаль к плоскости $\alpha$.
+----
+====Теорема 2====
+Угол между плоскостями $\alpha$ и $\beta$ можно найти из соотношения
+$$\cos{\hat{(\alpha,\beta)}}=|\cos{\hat{(\vec{n}_\alpha,\vec{n}_\beta)}}|,$$
+где $\vec{n}_\alpha$ и $\vec{n}_\beta$ -- это нормали к плоскостям $\alpha$ и $\beta$ соответственно.
+----
 ===Лемма===
 Пусть даны вектора ненулевые вектора $\vec{c}$, $\vec{n}$. Длина проекции вектора $\vec{c}$ на вектор $\vec{n}$ вычисляется по формулам
@@ Строка 5: / Строка 30: @@
   - $|Pr_{\vec{n}}\vec{c}| = \left|\dfrac{\vec{c}\cdot\vec{n}}{|\vec{n}|}\right|$
+----
-====Теорема====
+====Теорема 3====
-Угол между прямой $l$ и плоскостью $\alpha$ можно найти из соотношения
-$$\sin{\hat{(l,\alpha)}}=|\cos{\hat{(\vec{n_\alpha},\vec{v})}}|,$$
-где $\vec{v}$ -- направляющий вектор прямой $l$, а $\vec{n_\alpha}$ -- нормаль к плоскости $\alpha$.
-====Теорема====
 Расстояние от точки $A$ до плоскости $\alpha$ можно найти по формуле $$\rho(A,\alpha)=\left|\dfrac{\vec{c}\cdot\vec{n}}{|\vec{n}|}\right|,$$ где $\vec{c}$ -- произвольный вектор, соединяющий точку $A$ и плоскость $\alpha$, а $\vec{n}$ -- нормаль к плоскости $\alpha$.
 ===Доказательство===
@@ Строка 20: / Строка 41: @@
 Тогда $\rho(A,\alpha)=|Pr_{\vec{n}}{\vec{c}}|=|\vec{c}\cos{\varphi}|=\left|\dfrac{|\vec{n}|\,|\vec{c}|\cos{\varphi}}{|\vec{n}|}\right|=\left|\dfrac{\vec{c}\cdot\vec{n}}{|\vec{n}|}\right|$
-====Теорема====
+----
+====Теорема 4====
 Расстояние между скрещивающимися прямыми $l$ и $m$ можно найти по формуле $$\rho(l,m)=\left|\dfrac{\vec{c}\cdot\vec{n}}{|\vec{n}|}\right|,$$ где $\vec{c}$ -- произвольный вектор, соединяющий данные прямые, а $\vec{n}$ перпендикулярен обеим данным прямым.
 ===Доказательство===
 Построим плоскость $\alpha$, проходящую через прямую $l$ и параллельную прямой $m$.
-Вектор $\vec{n}$ будет нормалью к плоскости $\alpha$, так как вектор он перпендикулярен обеим прямым.
+Вектор $\vec{n}$ будет нормалью к плоскости $\alpha$, так как он перпендикулярен обеим прямым.
 Ясно, что искомое расстояние -- это длина проекции вектора $\vec{c}$ на нормаль $\vec{n}$.
 Тогда $\rho(l,m)=|Pr_{\vec{n}}{\vec{c}}|=|\vec{c}\cos{\varphi}|=\left|\dfrac{|\vec{n}|\,|\vec{c}|\cos{\varphi}}{|\vec{n}|}\right|=\left|\dfrac{\vec{c}\cdot\vec{n}}{|\vec{n}|}\right|$