math-public:vectornoye_proizvedenie_cherez_opredelitel
Различия
Показаны различия между двумя версиями страницы.
Предыдущая версия справа и слеваПредыдущая версияСледующая версия | Предыдущая версияСледующая версияСледующая версия справа и слева | ||
math-public:vectornoye_proizvedenie_cherez_opredelitel [2018/05/17 22:07] – labreslav | math-public:vectornoye_proizvedenie_cherez_opredelitel [2018/05/17 22:37] – [Определение правой тройки векторов] labreslav | ||
---|---|---|---|
Строка 38: | Строка 38: | ||
Пусть в первой системе координат вектор $\vec{a}$ имеет координаты $(x_1; | Пусть в первой системе координат вектор $\vec{a}$ имеет координаты $(x_1; | ||
- | Пусть конец вектора $(\vec{a}\times\vec{b})_{I}$ -- это точка $C_{1}$. Тогда эта точка $C_{1}$ в первой системе координат имеет координаты $(X,Y,Z) = (y_1z_2-z_1y_2; | + | Пусть конец вектора $(\vec{a}\times\vec{b})_{I}$ -- это точка $C_{1}$. Тогда эта точка $C_{1}$ в первой системе координат имеет координаты $(X_{C_1},Y_{C_1},Z_{C_1}) = (y_1z_2-z_1y_2; |
После поворота системы координат вектор $\vec{a}$ (в новой системе координат) будет иметь координаты | После поворота системы координат вектор $\vec{a}$ (в новой системе координат) будет иметь координаты | ||
$(\tilde{x}_1; | $(\tilde{x}_1; | ||
После поворота системы координат вектор $\vec{b}$ (в новой системе координат) будет иметь координаты $(\tilde{x}_2; | После поворота системы координат вектор $\vec{b}$ (в новой системе координат) будет иметь координаты $(\tilde{x}_2; | ||
- | Пусть конец вектора $(\vec{a}\times\vec{b})_{II}$ -- это точка $C_{2}$. Тогда эта точка $C_{2}$ во второй системе координат имеет координаты $(\tilde{X},\tilde{Y},\tilde{Z}) = (\tilde{y}_1\tilde{z}_2-\tilde{z}_1\tilde{y}_2; | + | Пусть конец вектора $(\vec{a}\times\vec{b})_{II}$ -- это точка $C_{2}$. Тогда эта точка $C_{2}$ во второй системе координат имеет координаты $(X_{C_2},Y_{C_2},Z_{C_2}) = (\tilde{y}_1\tilde{z}_2-\tilde{z}_1\tilde{y}_2; |
Докажем, | Докажем, | ||
+ | - найдем координаты точки $C_{1}$ в изначальной системе координат | ||
+ | - по формулам поворота найдем координаты точки $C_{1}$ в новой системе координат; | ||
+ | - найдем координаты векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ в новой системе координат; | ||
- найдем координаты точки $C_{2}$ в новой системе координат, | - найдем координаты точки $C_{2}$ в новой системе координат, | ||
- | - найдем координаты точки $C_{1}$ тоже в новой системе координат; | ||
- если координаты точки $C_{2}$ совпадут с координатами точки $C_{1}$ (и те, и другие в новой системе координат), | - если координаты точки $C_{2}$ совпадут с координатами точки $C_{1}$ (и те, и другие в новой системе координат), | ||
- тогда и векторы $(\vec{a}\times\vec{b})_{I}$ и $(\vec{a}\times\vec{b})_{II}$ будут равны в смысле длины и направления. | - тогда и векторы $(\vec{a}\times\vec{b})_{I}$ и $(\vec{a}\times\vec{b})_{II}$ будут равны в смысле длины и направления. | ||
Строка 60: | Строка 62: | ||
Пусть конец вектора $(\vec{a}\times\vec{b})_{I}$ -- это точка $C_{1}$. Тогда эта точка $C_{1}$ в первой системе координат имеет координаты $(X,Y,Z) = (y_1z_2-z_1y_2; | Пусть конец вектора $(\vec{a}\times\vec{b})_{I}$ -- это точка $C_{1}$. Тогда эта точка $C_{1}$ в первой системе координат имеет координаты $(X,Y,Z) = (y_1z_2-z_1y_2; | ||
- | Применяя формулу поворота системы координат, | + | Применяя формулу поворота системы координат, |
$$(X\cdot\cos{\varphi}+Y\cdot\sin{\varphi}; | $$(X\cdot\cos{\varphi}+Y\cdot\sin{\varphi}; | ||
Строка 66: | Строка 68: | ||
$$\Big((y_1z_2-z_1y_2)\cdot\cos{\varphi}+(-x_1z_2+z_1x_2)\cdot\sin{\varphi}; | $$\Big((y_1z_2-z_1y_2)\cdot\cos{\varphi}+(-x_1z_2+z_1x_2)\cdot\sin{\varphi}; | ||
- | Во второй системе координат вектор $\vec{a}$ имеет координаты $(x_1\cos{\varphi}+y_1\sin{\varphi}; | + | Во второй системе координат вектор $\vec{a}$ имеет координаты $(x_1\cos{\varphi}+y_1\sin{\varphi}; |
Во второй системе координат вектор $\vec{b}$ имеет координаты $(x_2\cos{\varphi}+y_2\sin{\varphi}; | Во второй системе координат вектор $\vec{b}$ имеет координаты $(x_2\cos{\varphi}+y_2\sin{\varphi}; | ||
Строка 94: | Строка 95: | ||
$$ = x_1y_2(\cos^2{\varphi}+\sin^2{\varphi})-x_2y_1(\sin^2{\varphi}+\cos^2{\varphi}) = x_1y_2 - x_2y_1.$$ | $$ = x_1y_2(\cos^2{\varphi}+\sin^2{\varphi})-x_2y_1(\sin^2{\varphi}+\cos^2{\varphi}) = x_1y_2 - x_2y_1.$$ | ||
- | Таким образом мы нашли координаты точки $C_{2}$ во второй системе координат. | + | Таким образом мы нашли координаты точки $C_{2}$ во второй системе координат. |
+ | |||
+ | Найденные | ||
Случаи вращения вокруг осей $Ox$ и $Oy$ доказываются аналогично. | Случаи вращения вокруг осей $Ox$ и $Oy$ доказываются аналогично. | ||
+ | |||
+ | ====Определение правой тройки векторов ==== | ||
+ | Пусть некомпланарные вектора $\vec{a}, \vec{b}$ и $\vec{c}$ отложены от одной точки. Тогда: | ||
+ | |||
+ | - Упорядоченная тройка векторов $(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c})$ называется правой, | ||
+ | - Упорядоченная тройка векторов $(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c})$ называется левой, если для наблюдателя, | ||
=====Теорема 2===== | =====Теорема 2===== |
math-public/vectornoye_proizvedenie_cherez_opredelitel.txt · Последнее изменение: 2018/05/18 15:58 — labreslav