Президентский ФМЛ №239

Эта страница только для чтения. Вы можете посмотреть её исходный текст, но не можете его изменить. Сообщите администратору, если считаете, что это неправильно.
====Определение равных векторов====
Два вектора равны тогда и только тогда, когда они сонаправлены и их длины равны.

Таким образом равенство векторов не зависит от выбора системы координат в пространстве. Более того, в разных системах координат равные векторы могут иметь различающиеся координаты, но при этом сами векторы будут равны.

====Определение векторного произведения====
Пусть дана система координат $I$, в которой $(\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ -- правый базис.

Пусть в данной системе координат $\vec{a}=(x_1;y_1;z_1)$ и $\vec{b}=(x_2;y_2;z_2)$.

Тогда вектор, который получается в результате подсчёта определителя $\left|\begin{array}{ccc}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\x_1&y_1&z_1\\x_2&y_2&z_2\end{array}\right|$ обозначим $(\vec{a}\times\vec{b})_{I}$ -- векторное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ в системе координат $I$.

$$(\vec{a}\times\vec{b})_I = \left|\begin{array}{ccc}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\x_1&y_1&z_1\\x_2&y_2&z_2\end{array}\right|=$$
$$ = \vec{i}(y_1z_2-z_1y_2)-\vec{j}(x_1z_2-z_1x_2)+\vec{k}(x_1y_2-y_1x_2)=$$
$$ = (y_1z_2-z_1y_2; -x_1z_2+z_1x_2; x_1y_2-y_1x_2)$$

===Замечание===
Так как в разных системах координат вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$ будут иметь разные координаты, то результат векторного умножения $\vec{a}$ на $\vec{b}$ теоретически может зависеть от выбора системы координат. Поэтому используется обозначение $(\vec{a}\times\vec{b})_I$, а не просто $\vec{a}\times\vec{b}$.

Например, в одной системе координат векторное произведение могло дать вектор $\vec{c}_1 = (\vec{a}\times\vec{b})_I$, а во второй системе координат мог получится другой вектор: $\vec{c}_2=(\vec{a}\times\vec{b})_{II}$.



====Формулы поворота====
Пусть система координат $II$ получается из системы координат $I$ поворотом вокруг оси $Oz$ на угол $\varphi$.

Пусть $(x_0;y_0;z_0)$ -- это координаты точки $A$ в системе координат $I$, а $(\tilde{x};\tilde{y};\tilde{z})$ -- координаты точки в системе координат $II$. Тогда верны следующие соотношения:
$$\left\{\begin{array}{ll}\tilde{x} = x_0\cos{\varphi}+y\sin{\varphi},\\ \tilde{y} = -x_0\sin{\varphi}+y_0\cos{\varphi},\\\tilde{z} = z_0.\end{array}\right.$$


=====Теорема 1=====
При повороте системы координат вокруг одной из осей результат векторного произведения не изменяется, как вектор.

===Что означает формулировка?===
Пусть система координат $II$ получается из системы координат $I$ поворотом вокруг оси $Oz$ на угол $\varphi$.

Будем откладывать вектора $\vec{a}$, $\vec{b}$, $(\vec{a}\times\vec{b})_{I}$ и $(\vec{a}\times\vec{b})_{II}$ от начала координат.

Пусть в первой системе координат вектор $\vec{a}$ имеет координаты $(x_1;y_1;z_1)$, а вектор $\vec{b}$ имеет координаты $(x_2;y_2;z_2)$.\\
Пусть конец вектора $(\vec{a}\times\vec{b})_{I}$ -- это точка $C_{1}$. Тогда эта точка $C_{1}$ в первой системе координат имеет координаты $(X_{C_1},Y_{C_1},Z_{C_1}) = (y_1z_2-z_1y_2; -x_1z_2+z_1x_2; x_1y_2-y_1x_2)$.

После поворота системы координат вектор $\vec{a}$ (в новой системе координат) будет иметь координаты 
$(\tilde{x}_1; \tilde{y}_1; \tilde{z}_1)$.\\
После поворота системы координат вектор $\vec{b}$ (в новой системе координат) будет иметь координаты $(\tilde{x}_2; \tilde{y}_2; \tilde{z}_2)$.\\
Пусть конец вектора $(\vec{a}\times\vec{b})_{II}$ -- это точка $C_{2}$. Тогда эта точка $C_{2}$ во второй системе координат имеет координаты $(X_{C_2},Y_{C_2},Z_{C_2}) = (\tilde{y}_1\tilde{z}_2-\tilde{z}_1\tilde{y}_2; -\tilde{x}_1\tilde{z}_2+\tilde{z}_1\tilde{x}_2; \tilde{x}_1\tilde{y}_2-\tilde{y}_1\tilde{x}_2)$.

Докажем, что точки $C_{1}$ и $C_{2}$ совпадают. Для этого:
  - найдем координаты точки $C_{1}$ в изначальной системе координат
  - по формулам поворота найдем координаты точки $C_{1}$ в новой системе координат;
  - найдем координаты векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ в новой системе координат;
  - найдем координаты точки $C_{2}$ в новой системе координат, посчитав $(\vec{a}\times\vec{b})_{II}$;
  - если координаты точки $C_{2}$ совпадут с координатами точки $C_{1}$ (и те, и другие в новой системе координат), то и сами точки совпадают;
  - тогда и векторы $(\vec{a}\times\vec{b})_{I}$ и $(\vec{a}\times\vec{b})_{II}$ будут равны в смысле длины и направления.

===Доказательство===

Пусть система координат $II$ получается из системы координат $I$ поворотом вокруг оси $Oz$ на угол $\varphi$.

Будем откладывать вектора $\vec{a}$, $\vec{b}$, $(\vec{a}\times\vec{b})_{I}$ и $(\vec{a}\times\vec{b})_{II}$ от начала координат.

Пусть в первой системе координат вектор $\vec{a}$ имеет координаты $(x_1;y_1;z_1)$, а вектор $\vec{b}$ имеет координаты $(x_2;y_2;z_2)$.\\
Пусть конец вектора $(\vec{a}\times\vec{b})_{I}$ -- это точка $C_{1}$. Тогда эта точка $C_{1}$ в первой системе координат имеет координаты $(X,Y,Z) = (y_1z_2-z_1y_2; -x_1z_2+z_1x_2; x_1y_2-y_1x_2)$.

Применяя формулу поворота системы координат, получим, что координаты точки $C_1$ во второй системе координат равны:

$$(X\cdot\cos{\varphi}+Y\cdot\sin{\varphi};\ -X\cdot\sin{\varphi}+Y\cdot\cos{\varphi};\ Z) = $$

$$\Big((y_1z_2-z_1y_2)\cdot\cos{\varphi}+(-x_1z_2+z_1x_2)\cdot\sin{\varphi};\ -(y_1z_2-z_1y_2)\cdot\sin{\varphi}+(-x_1z_2+z_1x_2)\cdot\cos{\varphi};\ x_1y_2-y_1x_2\Big)$$

Во второй системе координат вектор $\vec{a}$ имеет координаты $(x_1\cos{\varphi}+y_1\sin{\varphi};\ -x_1\sin{\varphi}+y_1\cos{\varphi};\ z_1)$.\\
Во второй системе координат вектор $\vec{b}$ имеет координаты $(x_2\cos{\varphi}+y_2\sin{\varphi};\  -x_2\sin{\varphi}+y_2\cos{\varphi};\ z_2)$.

Вычислим координаты вектора $(\vec{a}\times\vec{b})_{II}$ (это координаты во второй системе координат):

$$(\vec{a}\times\vec{b})_{II}=\left|\begin{array}{ccc}\vec{e_1}&\vec{e_2}&\vec{e_3}\\x_1\cos{\varphi}+y_1\sin{\varphi}&-x_1\sin{\varphi}+y_1\cos{\varphi}&z_1\\ x_2\cos{\varphi}+y_2\sin{\varphi}&-x_2\sin{\varphi}+y_2\cos{\varphi}&z_2\end{array} \right|$$

По новой оси $Ox$:

$$X((\vec{a}\times\vec{b})_{II})=(-x_1\sin{\varphi}+y_1\cos{\varphi})\cdot z_2 - (-x_2\sin{\varphi}+y_2\cos{\varphi})\cdot z_1 =$$
$$ = (-x_1z_2+x_2z_1)\sin{\varphi}+(y_1z_2-y_2z_1)\cos{\varphi}.$$

По новой оси $Oy$:

$$Y((\vec{a}\times\vec{b})_{II})=-(x_1\cos{\varphi}+y_1\sin{\varphi})\cdot z_2 + (x_2\cos{\varphi}+y_2\sin{\varphi})\cdot z_1 = $$
$$ = (-x_1z_2+x_2z_1)\cos{\varphi}+(-y_1z_2+y_2z_1)\sin{\varphi}.$$

По новой оси $Oz$:

$$Z((\vec{a}\times\vec{b})_{II}) = (x_1\cos{\varphi}+y_1\sin{\varphi})(-x_2\sin{\varphi}+y_2\cos{\varphi})- (-x_1\sin{\varphi}+y_1\cos{\varphi})(x_2\cos{\varphi}+y_2\sin{\varphi}) = $$

$$= (-x_1x_2\sin{\varphi}\cos{\varphi}+x_1y_2\cos^2{\varphi}-x_2y_1\sin^2{\varphi}+y_1y_2\sin{\varphi}\cos{\varphi}) -$$

$$ - (-x_1x_2\sin{\varphi}\cos{\varphi}-x_1y_2\sin^2{\varphi}+y_1x_2\cos^2{\varphi}+y_1y_2\sin{\varphi}\cos{\varphi}) = $$

$$ = x_1y_2(\cos^2{\varphi}+\sin^2{\varphi})-x_2y_1(\sin^2{\varphi}+\cos^2{\varphi}) = x_1y_2 - x_2y_1.$$

Таким образом мы нашли координаты точки $C_{2}$ во второй системе координат.

Найденные координаты точки $C_{2}$ совпали с координатами точки $C_1$ в той же, второй, системе координат. Значит и сами точки $C_1$ и $C_2$ совпадают. Значит и вектора $(\vec{a}\times\vec{b})_{I}$ и $(\vec{a}\times\vec{b})_{II}$ равны в смысле длины и направления.

Случаи вращения вокруг осей $Ox$ и $Oy$ доказываются аналогично.


====Определение правой тройки векторов ====
Пусть некомпланарные вектора $\vec{a}, \vec{b}$ и $\vec{c}$ отложены от одной точки. Тогда:

  - Упорядоченная тройка векторов $(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c})$ называется правой, если для наблюдателя, находящегося на конце вектора $\vec{c}$, кратчайший поворот вектора $\vec{a}$ к вектору $\vec{b}$ виден против часовой стрелки.
  - Упорядоченная тройка векторов $(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c})$ называется левой, если для наблюдателя, находящегося на конце вектора $\vec{c}$, кратчайший поворот вектора $\vec{a}$ к вектору $\vec{b}$ виден по часовой стрелки.

=====Теорема 2=====
Пусть $(\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ -- правый базис системы координат. Рассмотрим неколлинеарные вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$. Тогда вектора $(\vec{a}, \vec{b}, \vec{a}\times\vec{b})$ образуют правую тройку векторов.

===Доказательство===
Ясно, что вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$ можно отложить от начала координат, что не меняет вектор $\vec{a}\times\vec{b}$.

Повернем систему координат так, чтобы вектор $\vec{b}$ был сонаправлен с осью $Oy$, а вектор $\vec{a}$ лежал бы в плоскости $xOy$. 

Этого можно добиться тремя последовательными поворотами:
  - Сначала повернем систему координат вокруг оси $Oz$ так, чтобы вектор $\vec{b}$ попал в плоскость новых осей $Oz$ и $Oy$.
  - Затем повернем систему координат вокруг новой оси $Ox$ так, чтобы вектор $\vec{b}$ оказался сонаправлен с осью $Oy$.
  - И, наконец, повернем систему координат вокруг новой оси $Oy$ так, чтобы вектор $\vec{a}$ попал в плоскость новых осей $Ox$ и $Oy$.

При поворотах вокруг осей координат результат векторного произведения не изменяется. Значит, если мы докажем, что в конечной системе координат вектора $\vec{a}, \vec{b}$ и $\vec{a}\times\vec{b}$ образуют правую тройку, то и в изначальной системе координат эти вектора образовывали правую тройку, так как это будут те же самые вектора в смысле длин и направлений.

{{ :math-public:untitled-2.jpg?400|}}

{{ :math-public:pppuntitled-1.jpg?400|}}


В новой системе координат вектор $\vec{a}$ будет иметь координаты $(x,y,0)$, а вектор $\vec{b}$ будет иметь координаты $(0,t,0)$.

Причем $t\neq 0$, так как $\vec{b}\neq\vec{0}$, и $t>0$, так как вектор $\vec{b}$ сонаправлен с осью $Oy$.

Кроме того $x\neq 0$, так как иначе бы вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$ были бы коллинеарны. 

Тогда $\vec{c} = \vec{a}\times\vec{b}=0\cdot\vec{i}+0\cdot\vec{j}+(xt)\cdot\vec{k}=(0,0,xt)$.

Если $x>0$, то $xt>0$, а значит вектор $\vec{c}$ направлен вдоль оси $Oz$ вверх, и тогда видно, что вектора $(\vec{a},\vec{b},\vec{c})$ образуют правую тройку векторов.


Если $x<0$, то $xt<0$, а значит вектор $\vec{c}$ направлен вдоль оси $Oz$ вниз. Но поскольку кратчайшее вращение вектора $\vec{a}$ к вектору $\vec{b}$ теперь происходит в другую сторону, то $(\vec{a},\vec{b},\vec{c})$ снова образуют правую тройку векторов.



=====Теорема 3=====
Результат векторного произведения, как вектор, не зависит от выбора системы координат, если обе системы координат будут "правыми".

====Доказательство====
Любые две правые системы координат можно совместить последовательным применением параллельного переноса и трёх поворотов вокруг осей координат.

Но при параллельном переносе системы координат векторное произведение очевидно не изменяется, так как и базис и координаты векторов остаются прежними.

А при поворотах вокруг осей координат векторное произведение не изменяется в силу Теоремы 1.

Таким образом, если использовать только правые системы координат, можно не использовать индексы $I$ или $II$ при обозначении векторного произведения, а писать просто $\vec{a}\times\vec{b}$.