Определение равных векторов

Два вектора равны тогда и только тогда, когда они сонаправлены и их длины равны.

Таким образом равенство векторов не зависит от выбора системы координат в пространстве. Более того, в разных системах координат равные векторы могут иметь различающиеся координаты, но при этом сами векторы будут равны.

Определение векторного произведения

Пусть дана система координат , в которой – правый базис.

Пусть в данной системе координат и .

Тогда вектор, который получается в результате подсчёта определителя обозначим – векторное произведение векторов и в системе координат .

Замечание

Так как в разных системах координат вектора и будут иметь разные координаты, то результат векторного умножения на теоретически может зависеть от выбора системы координат. Поэтому используется обозначение , а не просто .

Например, в одной системе координат векторное произведение могло дать вектор , а во второй системе координат мог получится другой вектор: .

Формулы поворота

Пусть система координат получается из системы координат поворотом вокруг оси на угол .

Пусть – это координаты точки в системе координат , а – координаты точки в системе координат . Тогда верны следующие соотношения:

Теорема 1

При повороте системы координат вокруг одной из осей результат векторного произведения не изменяется, как вектор.

Что означает формулировка?

Пусть система координат получается из системы координат поворотом вокруг оси на угол .

Будем откладывать вектора , , и от начала координат.

Пусть в первой системе координат вектор имеет координаты , а вектор имеет координаты .
Пусть конец вектора – это точка . Тогда эта точка в первой системе координат имеет координаты .

После поворота системы координат вектор (в новой системе координат) будет иметь координаты .
После поворота системы координат вектор (в новой системе координат) будет иметь координаты .
Пусть конец вектора – это точка . Тогда эта точка во второй системе координат имеет координаты .

Докажем, что точки и совпадают. Для этого:

найдем координаты точки в изначальной системе координат

по формулам поворота найдем координаты точки в новой системе координат;

найдем координаты векторов и в новой системе координат;

найдем координаты точки в новой системе координат, посчитав ;

если координаты точки совпадут с координатами точки (и те, и другие в новой системе координат), то и сами точки совпадают;

тогда и векторы и будут равны в смысле длины и направления.

Доказательство

Пусть система координат получается из системы координат поворотом вокруг оси на угол .

Будем откладывать вектора , , и от начала координат.

1

Пусть в первой системе координат вектор имеет координаты , а вектор имеет координаты .
Пусть конец вектора – это точка . Тогда эта точка в первой системе координат имеет координаты .

Применяя формулу поворота системы координат, получим, что координаты точки во второй системе координат равны

2

Во второй системе координат вектор имеет координаты .
Во второй системе координат вектор имеет координаты .

3

Вычислим координаты вектора (это координаты во второй системе координат):

По новой оси :

По новой оси :

По новой оси :

Таким образом мы нашли координаты точки во второй системе координат.

4

И эти координаты совпали с координатами точки в той же, второй, системе координат. Значит и сами точки и совпадают. Значит и вектора и равны в смысле длины и направления.

Случаи вращения вокруг осей и доказываются аналогично.

Теорема 2

Пусть – правый базис системы координат. Рассмотрим неколлинеарные вектора и . Тогда вектора образуют правую тройку векторов.

Доказательство

Ясно, что вектора и можно отложить от начала координат, что не меняет вектор .

Повернем систему координат так, чтобы вектор был сонаправлен с осью , а вектор лежал бы в плоскости .

Этого можно добиться тремя последовательными поворотами:

Сначала повернем систему координат вокруг оси так, чтобы вектор попал в плоскость новых осей и .

Затем повернем систему координат вокруг новой оси так, чтобы вектор оказался сонаправлен с осью .

И, наконец, повернем систему координат вокруг новой оси так, чтобы вектор попал в плоскость новых осей и .

При поворотах вокруг осей координат результат векторного произведения не изменяется. Значит, если мы докажем, что в конечной системе координат вектора и образуют правую тройку, то и в изначальной системе координат эти вектора образовывали правую тройку, так как это будут те же самые вектора в смысле длин и направлений.

В новой системе координат вектор будет иметь координаты , а вектор будет иметь координаты .

Причем , так как , и , так как вектор сонаправлен с осью .

Кроме того , так как иначе бы вектора и были бы коллинеарны.

Тогда .

Если , то , а значит вектор направлен вдоль оси вверх, и тогда видно, что вектора образуют правую тройку векторов.

Если , то , а значит вектор направлен вдоль оси вниз. Но поскольку кратчайшее вращение вектора к вектору теперь происходит в другую сторону, то снова образуют правую тройку векторов.

Теорема 3

Результат векторного произведения, как вектор, не зависит от выбора системы координат, если обе системы координат будут «правыми».

Доказательство

Любые две правые системы координат можно совместить последовательным применением параллельного переноса и трёх поворотов вокруг осей координат.

Но при параллельном переносе системы координат векторное произведение очевидно не изменяется, так как и базис и координаты векторов остаются прежними.

А при поворотах вокруг осей координат векторное произведение не изменяется в силу Теоремы 1.

Таким образом, если использовать только правые системы координат, можно не использовать индексы или при обозначении векторного произведения, а писать просто .