Президентский ФМЛ №239

Эта страница только для чтения. Вы можете посмотреть её исходный текст, но не можете его изменить. Сообщите администратору, если считаете, что это неправильно.
======Направленные отрезки======
=====Определение=====
Направленный отрезок -- это отрезок, одна граничная точка которого считается
"началом", а другая -- "концом".

=====Определение=====
Длиной направленного отрезка $[\overrightarrow{AB}]$ называется длина отрезка $AB$.

=====Определение=====
Направленные отрезки называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

=====Определение=====
Направленные отрезки $[\overrightarrow{AB}]$ и $[\overrightarrow{CD}]$ сонаправлены,
если найдётся такая прямая $a$, что, во-первых, они перпендикулярны
этой прямой и, во-вторых, лучи $AB$ и $CD$ лежат по одну сторону от
этой прямой.


{{:math-public:126.jpg?direct&150|}}

<hidden>
**Определение 2**
Направленные отрезки называются сонаправленными, если выполняется
одно из двух следующих условий:
  - отрезки лежат на одной прямой, и лучи, задаваемые этими отрезками в пересечении дают луч;
  - отрезки лежат на параллельных прямых, и их концы лежат в одной полуплоскости относительно прямой, соединяющей начала направленных отрезков.

|  {{:math-public:124-1.jpg?direct&150|}}  |  {{:math-public:124-2.jpg?direct&150|}}  |
|  (рис. 1а)  |  (рис. 1б)  |


**Определение 3**
Направленные отрезки называются сонаправленными, если они лежат на
параллельных прямых или на одной прямой, и при этом лучи, задаваемые
этими направленными отрезками лежат по одну сторону от некоторой
непараллельной им прямой, то есть в одной полуплоскости,
ограниченной этой прямой.

{{:math-public:125.jpg?direct&150|}}\\
//(рис. 2)//


**Замечание**
Три предыдущих определения эквивалентны.

</hidden>



=====Определение=====
Направленные отрезки называются противоположно направленными, если
они лежат на параллельных прямых (или на одной прямой), но не
сонаправлены.

<hidden>
**Определение**
Направленные отрезки называются противоположно направленными, если
выполняется одно из двух следующих условий:
  - отрезки лежат на одной прямой, и лучи, задаваемые этими отрезками в пересечении дают отрезок, точку или пустое множество;
  - отрезки лежат на параллельных прямых, и их концы лежат в разных полуплоскостях относительно прямой, соединяющей начала направленных отрезков.

{{:math-public:127-1.jpg?direct&150|}}
{{:math-public:127-2.jpg?direct&150|}}

**Замечание**
Два предыдущих определения эквивалентны.

</hidden>


=====Теорема=====
Два направленных отрезка сонаправленные с третьим, сонаправлены.

{{:math-public:128.jpg?direct&300|}}


====Доказательство====
Пусть $[\overrightarrow{AB}]$ и $[\overrightarrow{CD}]$
сонаправлены с $[\overrightarrow{MN}]$.

Докажем, что $[\overrightarrow{AB}]\upuparrows [\overrightarrow{CD}]$.

Так как $[\overrightarrow{AB}]\upuparrows [\overrightarrow{MN}]$, то по
определению найдется такая перпендикулярная им прямая $a$, от которой лучи $AB$ и $MN$ лежат по одну сторону.

Точно так же для $[\overrightarrow{CD}]$ и $[\overrightarrow{MN}]$ найдётся
перпендикулярная им прямая $b$, от которой лучи $CD$ и $MN$ лежат по
одну сторону.

Если прямые $a$ и $b$ не совпадают, то они параллельны (как перпендикулярные одной и той же прямой $MN$).

Тогда из двух полуплоскостей, которые ограничены прямыми $a$ и $b$ и содержат луч
$MN$, одна содержит другую.

Будем считать, что это полуплоскость ограниченная прямой $a$.

Эта полуплоскость содержит лучи $AB$, $CD$ и $MN$.

Тем самым выполнено второе условие определения.

Кроме того выполнено и первое условие, так как $[\overrightarrow{AB}]$ и $[\overrightarrow{CD}]$
перпендикулярны прямой $a$.

Поэтому $[\overrightarrow{AB}]\upuparrows [\overrightarrow{CD}]$.

=====Определение=====
Направленные отрезки называются равными, если они равны по длине и
сонаправлены.