Скалярное умножение векторов

Определение

Углом между двумя ненулевыми векторами называется величина образуемого ими угла, когда они отложены от одной точки.

Определение

Скалярным произведением двух векторов называется произведение их модулей и косинуса угла между ними. Если хотя бы один из векторов нулевой, то их скалярное произведение полагают равным нулю.

Определение

Скалярным квадратом вектора называется его произведение самого на себя.

Теорема

Для любых двух ненулевых векторов их скалярное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда они перпендикулярны.

Доказательство

Пусть .

Если , то , следовательно .

Если , то .

Но поскольку и по условию, то .

А значит, .

Скалярное произведение в координатах

Скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений их соответствующих координат.

Доказательство

Если хотя бы один из векторов или нулевой, то справедливость теоремы очевидна.

Рассмотрим случай, когда векторы и ненулевые.

Отложим от произвольной точки векторы и .

Пусть .

Если векторы и не коллинеарны, то по теореме косинусов .

Это равенство верно и в том случае, если векторы и коллинеарны.

Действительно, если , то .

Если же , то .

Так как , то равенство \eqref{eq008} можно записать так: .

Откуда .

Векторы и имеют координаты и .

Поэтому .

Подставив эти выражения в правую часть равенства \eqref{eq009}, получим .

Свойства скалярного произведения

;

;

.

Доказательство

Первое свойство очевидно в силу определения скалярного произведения.

Действительно, .

Докажем второе свойство, используя теорему \ref{149}.

Пусть имеет координаты , а вектор имеет координаты .

Тогда вектор .

Докажем третье свойство, используя теорему \ref{149}.

Пусть вектор имеет координаты , вектор имеет координаты , вектор имеет координаты .

Тогда .

Формулы векторного метода

;

;