math-public:vektory-skalyarnoe-umnozhenie
Различия
Показаны различия между двумя версиями страницы.
Следующая версия | Предыдущая версия | ||
math-public:vektory-skalyarnoe-umnozhenie [2016/05/05 12:52] – создано labreslav | math-public:vektory-skalyarnoe-umnozhenie [2016/10/27 12:13] (текущий) – labreslav | ||
---|---|---|---|
Строка 1: | Строка 1: | ||
+ | $\newcommand{\updownarrows}{\uparrow\!\downarrow}$ | ||
+ | |||
+ | ======Скалярное умножение векторов====== | ||
+ | =====Определение===== | ||
+ | Углом между двумя ненулевыми векторами называется величина образуемого ими угла, когда они отложены от одной точки. | ||
+ | |||
+ | =====Определение===== | ||
+ | Скалярным произведением двух векторов называется произведение их модулей и косинуса угла между ними. Если хотя бы один из векторов нулевой, | ||
+ | |||
+ | =====Определение===== | ||
+ | Скалярным квадратом вектора называется его произведение самого на себя. | ||
+ | |||
+ | =====Теорема===== | ||
+ | Для любых двух ненулевых векторов их скалярное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда они перпендикулярны. | ||
+ | |||
+ | ====Доказательство==== | ||
+ | Пусть $\alpha=\angle (\vec{a}; | ||
+ | |||
+ | Если $\alpha=90^\circ$, | ||
+ | |||
+ | Если $\vec{a}\cdot \vec{b}=0$, то $|\vec{a}||\vec{b}|\cos{\alpha}=0$. | ||
+ | |||
+ | Но поскольку $|\vec{a}|\neq0$ и $|\vec{b}|\neq 0$ по условию, | ||
+ | |||
+ | А значит, | ||
+ | |||
+ | |||
+ | =====Скалярное произведение в координатах===== | ||
+ | Скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений их соответствующих координат. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | {{: | ||
+ | {{: | ||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | ====Доказательство==== | ||
+ | Если хотя бы один из векторов $\vec{a}$ или $\vec{b}$ нулевой, | ||
+ | |||
+ | Рассмотрим случай, | ||
+ | |||
+ | Отложим от произвольной точки $O$ векторы $\overrightarrow{OA}=\vec{a}$ и $\overrightarrow{OB}=\vec{b}$. | ||
+ | |||
+ | Пусть $\alpha=\angle (\vec{a}; | ||
+ | |||
+ | Если векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ не коллинеарны, | ||
+ | |||
+ | Это равенство верно и в том случае, | ||
+ | |||
+ | Действительно, | ||
+ | |||
+ | Если же $a\updownarrows b$, то $AB^2=(OA+OB)^2=OA^2+OB^2+2OA\cdot OB=OA^2+OB^2-2OA\cdot OB\cos{180^\circ}=OA^2+OB^2-2OA\cdot OB\cos{\alpha}$. | ||
+ | |||
+ | Так как $\overrightarrow{AB}=\vec{b}-\vec{a}, | ||
+ | |||
+ | Откуда $\vec{a}\cdot\vec{b}=\frac{1}{2}(|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2-|\vec{a}-\vec{b}|^2)$. | ||
+ | |||
+ | Векторы $\vec{a}, \vec{b}$ и $\vec{b}-\vec{a}$ имеют координаты $(x_1; y_1), (x_2; y_2)$ и | ||
+ | $(x_2-x_1; y_2-y_1)$. | ||
+ | |||
+ | Поэтому $|\vec{a}|^2=x_1^2+y_1^2, | ||
+ | |||
+ | Подставив эти выражения в правую часть равенства \eqref{eq009}, | ||
+ | $\vec{a}\cdot \vec{b}=\frac{1}{2}\left(x_1^2+y_1^2+x_2^2+y_2^2-x_1^2-x_2^2+2x_1x_2-y_1^2-y_2^2+2y_1y_2\right)=x_1x_2+y_1y_2$. | ||
+ | |||
+ | =====Свойства скалярного произведения===== | ||
+ | - $\vec{a}\cdot \vec{b}=\vec{b}\cdot \vec{a}$; | ||
+ | - $(k\vec{a})\cdot \vec{b}=k(\vec{a}\cdot \vec{b})$; | ||
+ | - $(\vec{a}+\vec{b})\cdot \vec{c}=\vec{a}\cdot \vec{c}+\vec{b}\cdot \vec{c}$. | ||
+ | |||
+ | ====Доказательство==== | ||
+ | Первое свойство очевидно в силу определения скалярного произведения. | ||
+ | |||
+ | Действительно, | ||
+ | |||
+ | Докажем второе свойство, | ||
+ | |||
+ | Пусть $\vec{a}$ имеет координаты $(x_1; | ||
+ | |||
+ | Тогда вектор $(k\vec{a})\cdot\vec{b}=kx_1; | ||
+ | |||
+ | Докажем третье свойство, | ||
+ | |||
+ | Пусть вектор $a$ имеет координаты $(x_a; | ||
+ | |||
+ | Тогда $(\vec{a}+\vec{b})\cdot \vec{c}=(x_a+x_b; | ||
+ | |||
+ | =====Формулы векторного метода===== | ||
+ | - $|\vec{a}|=\sqrt{\vec{a}^2}$; | ||
+ | - $\cos{\angle(\vec{a}; | ||
+ | - $pr_{\vec{a}}(\vec{b})=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|}$ | ||
+ | |||
math-public/vektory-skalyarnoe-umnozhenie.1462441946.txt.bz2 · Последнее изменение: 2016/05/05 12:52 — labreslav