Линейные операции с векторами

Правило треугольника

Чтобы получить сумму векторов и , нужно от какой-либо точки отложить вектор , затем от точки отложить вектор .

Вектор называется суммой векторов и .

Определение

Суммой двух векторов называется вектор, полученный по правилу треугольника.

Теорема

Определение суммы векторов корректно, то есть сумма векторов не зависит от выбора точки .

Доказательство

Докажем, что если отложить вектор от точки , то есть , а затем от точки отложить вектор , то сумма векторов будет равна вектору , то есть (рис. \ref{pic133}).

Так как , то по теореме \ref{133} имеем .

Аналогично из равенства следует, что .

Поэтому .

Но из этого равенства по той же теореме \ref{133} следует, что .

Правило параллелограмма

Если – параллелограмм, то

Доказательство

Так как – параллелограмм, то . Следовательно, .

Свойства сложения векторов

Для любых векторов и

.

.

.

Доказательство

Первой свойство очевидно.

Докажем второе свойство.

Возможны два случая: векторы и неколлинеарны, 2) вектора и коллинеарны.

Рассмотрим первый случай.

Пусть вектора и неколлинеарны.

Отложим их от точки : и – и построим на этих векторах параллелограмм (рис. \ref{pic136} a).

Поскольку $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}=\vec{a}$ и , то .

Рассмотрим второй случай.

Пусть вектора и коллинеарны.

Если вектора и сонаправлены, то можно их последовательно отложить от точки двумя способами, то есть , или (рис. \ref{pic136} b).

Докажем, что .

Вектора и очевидно сонаправлены, кроме того их модули равны .

Следовательно, эти вектора равны.

Рассмотрим случай, когда вектора и противоположно направлены (рис. \ref{pic136} c).

Пусть кроме того .

Тогда , при этом .

C другой стороны , при этом .

Таким образом модули векторов и равны, кроме того они сонаправлены, следовательно, .

Докажем третий пункт теоремы.

Отложим от точки вектор , затем от точки вектор , а потом от точки вектор (рис. \ref{pic136} d).

Тогда .

C другой стороны, . Итак .

Правило цепочки

При любом расположении точек верно равенство

Определение

Два ненулевых вектора называются противоположными, если их длины равны и они противоположны по направлению. Ноль-вектор считается противоположным самому себе (рис. \ref{pic137}).

Теорема

.

Если , то .

Доказательство

Докажем первый пункт.

Пусть .

Тогда .

Следовательно, .

Докажем второй пункт.

Пусть .

Тогда, если , то поскольку , то .

Таким образом, вектора и равны по модулю и противоположны по направлению, то есть векторы и противоположны.

Разность векторов

Разностью векторов и называется такой вектор , что . Принято обозначать .

Следствие

.

Теорема

Для любых двух векторов и справедливо равенство .

Доказательство

Пусть .

По правилу треугольника .

Кроме того .

Поэтому .