Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- math-public:vektory-slozhenie-vychitanie [2016/09/06 21:49] – [Доказательство] labreslav
+++ math-public:vektory-slozhenie-vychitanie [2016/10/26 13:28] (текущий) – labreslav
@@ Строка 1: / Строка 1: @@
+$\newcommand{\updownarrows}{\uparrow\!\downarrow}$
+======Линейные операции с векторами======
+=====Правило треугольника=====
+Чтобы получить сумму векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$, нужно от
+какой-либо точки $A$ отложить вектор $\overrightarrow{AB}=\vec{a}$,
+затем от точки $B$ отложить вектор $\overrightarrow{BC}=\vec{b}$.
+Вектор $\overrightarrow{AC}$ называется суммой векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$.
+$\vec{a}+\vec{b}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$
+{{:math-public:132.jpg?direct&300|}}
+=====Определение======
+Суммой двух векторов называется вектор, полученный по правилу треугольника.
+=====Теорема=====
+Определение суммы векторов корректно, то есть сумма векторов не зависит
+от выбора точки $A$.
+{{:math-public:133.jpg?direct&300|}}
+====Доказательство====
+Докажем, что если отложить вектор $a$ от точки $A_1$, то есть $\overrightarrow{A_1B_1}=\vec{a}$, а затем от точки
+$B_1$ отложить вектор $\overrightarrow{B_1C_1}=\vec{b}$, то сумма векторов $\overrightarrow{A_1B_1}+\overrightarrow{B_1C_1}=\overrightarrow{A_1C_1}$
+будет равна вектору $\overrightarrow{AC}$, то есть $\overrightarrow{A_1C_1}=\overrightarrow{AC}$ (рис.
+\ref{pic133}).
+Так как $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{A_1B_1}$, то по теореме \ref{133} имеем $\overrightarrow{AA_1}=\overrightarrow{BB_1}$.
+Аналогично из равенства $\overrightarrow{B_1C_1}=\overrightarrow{BC}$ следует, что
+$\overrightarrow{BB_1}=\overrightarrow{CC_1}$.
+Поэтому $\overrightarrow{AA_1}=\overrightarrow{CC_1}$.
+Но из этого равенства по той же теореме \ref{133} следует, что
+$\overrightarrow{A_1C_1}=\overrightarrow{AC}$.
+=====Правило параллелограмма=====
+Если $ABCD$ -- параллелограмм, то
+$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$
+{{:math-public:135.jpg?direct&300|}}
+====Доказательство====
+Так как $ABCD$ -- параллелограмм, то
+$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$. Следовательно,
+$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$.
+=====Свойства сложения векторов=====
+Для любых векторов $\vec{a}, \vec{b}$ и $\vec{c}$
+  - $\vec{a}+\vec{0}=\vec{a}$.
+  - $\vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a}$.
+  - $(\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}=\vec{a}+(\vec{b}+\vec{c})$.
+{{:math-public:136a.jpg?direct&150|}}
+{{:math-public:136b.jpg?direct&150|}}
+{{:math-public:136c.jpg?direct&150|}}
+{{:math-public:136d.jpg?direct&150|}}
+====Доказательство====
+Первой свойство очевидно.
+Докажем второе свойство.
+Возможны два случая: $1)$ векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ неколлинеарны, 2) вектора
+$\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны.
+Рассмотрим первый случай.
+Пусть вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$ неколлинеарны.
+Отложим их от точки $A$: $\overrightarrow{AB}=a$ и $\overrightarrow{AD}=b$ -- и построим
+на этих векторах параллелограмм $ABCD$ (рис. \ref{pic136} a).
+Поскольку $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AC},
+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}=\vec{a}$ и
+$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}=\vec{b}$, то
+$\vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a}$.
+Рассмотрим второй случай.
+Пусть вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны.
+Если вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$ сонаправлены, то можно их последовательно отложить от точки $A$ двумя способами, то есть $\vec{a}+\vec{b}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$, или
+$\vec{b}+\vec{a}=\overrightarrow{AB_1}+\overrightarrow{B_1C_1}=\overrightarrow{AC_1}$
+(рис. \ref{pic136} b).
+Докажем, что $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AC_1}$.
+Вектора $\overrightarrow{AC}$ и $\overrightarrow{AC_1}$ очевидно сонаправлены, кроме того их модули равны $|\vec{a}|+|\vec{b}|$.
+Следовательно, эти вектора равны.
+Рассмотрим случай, когда вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$ противоположно направлены (рис.
+\ref{pic136} c).
+Пусть кроме того $|\vec{a}|>|\vec{b}|$.
+Тогда $\vec{a}+\vec{b}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$,
+при этом $|\overrightarrow{AC}|=|\vec{a}|-|\vec{b}|$.
+C другой стороны $\vec{b}+\vec{a}=\overrightarrow{AB_1}+\overrightarrow{B_1C_1}=\overrightarrow{AC_1}$,
+при этом $|\overrightarrow{AC_1}|=|\vec{a}|-|\vec{b}|$.
+Таким образом модули векторов $\overrightarrow{AC}$ и $\overrightarrow{AC_1}$ равны, кроме того они сонаправлены,
+следовательно, $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AC_1}$.
+Докажем третий пункт теоремы.
+Отложим от точки $A$ вектор $\overrightarrow{AB}=\vec{a}$, затем от точки $B$ вектор
+$\overrightarrow{BC}=\vec{b}$, а потом от точки $C$ вектор $\overrightarrow{CD}=\vec{c}$ (рис. \ref{pic136} d).
+Тогда $(\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}=(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC})+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}$.
+C другой стороны, $\vec{a}+(\vec{b}+\vec{c})=\overrightarrow{AB}+(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD})=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}$.
+Итак $(\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}=\vec{a}+(\vec{b}+\vec{c})$.
+=====Правило цепочки======
+При любом расположении точек $A_1, A_2, A_3, \ldots, A_n$ верно равенство $\overrightarrow{A_1A_2}+\overrightarrow{A_2A_3}+\ldots+\overrightarrow{A_{n-1}A_n}=\overrightarrow{A_1A_n}$
+=====Определение=====
+Два ненулевых вектора называются противоположными, если их длины
+равны и они противоположны по направлению. Ноль-вектор считается
+противоположным самому себе (рис. \ref{pic137}).
+{{:math-public:137.jpg?direct&150|}}
+=====Теорема=====
+  - $\vec{a}+(-\vec{a})=\vec{0}$.
+  - Если $\vec{a}+\vec{b}=\vec{0}$, то $\vec{a}=-\vec{b}$.
+====Доказательство=====
+Докажем первый пункт.
+Пусть $\vec{a}=\overrightarrow{AB}$.
+Тогда $-\vec{a}=\overrightarrow{BA}$.
+Следовательно, $\vec{a}+(-\vec{a})=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{AA}=\vec{0}$.
+Докажем второй пункт.
+Пусть $\vec{a}+\vec{b}=\vec{0}$.
+Тогда, если $\vec{a}=\overrightarrow{AB}$, то поскольку $\vec{0}=\overrightarrow{AA}$, то $\vec{b}=\overrightarrow{BA}$.
+Таким образом, вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равны по модулю и противоположны по направлению, то есть векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ противоположны.
+=====Разность векторов=====
+Разностью векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ называется такой вектор
+$\vec{c}$, что $\vec{c}+\vec{b}=\vec{a}$. Принято обозначать
+$\vec{c}=\vec{a}-\vec{b}$.
+{{:math-public:134.jpg?direct&150|}}
+=====Следствие=====
+$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CB}$.
+=====Теорема=====
+Для любых двух векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ справедливо равенство
+$\vec{a}-\vec{b}=\vec{a}+(-\vec{b})$.
+{{:math-public:138.jpg?direct&150|}}
+====Доказательство====
+Пусть $\vec{c}=\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}=\vec{a}-\vec{b}$.
+По правилу треугольника $\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{OA}$.
+Кроме того $\overrightarrow{BO}=-\overrightarrow{OB}=-\vec{b}$.
+Поэтому $\vec{a}- \vec{b}=\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{BO}=\overrightarrow{OA}+(-\overrightarrow{OB})=\vec{a}+(-\vec{b})$.