math-public:vektory-svojstva-linejnyh-operacij
Различия
Показаны различия между двумя версиями страницы.
Предыдущая версия справа и слеваПредыдущая версияСледующая версия | Предыдущая версия | ||
math-public:vektory-svojstva-linejnyh-operacij [2016/09/21 16:04] – [Доказательство] labreslav | math-public:vektory-svojstva-linejnyh-operacij [2019/06/12 19:59] (текущий) – [Доказательство] labreslav | ||
---|---|---|---|
Строка 1: | Строка 1: | ||
+ | $\newcommand{\updownarrows}{\uparrow\!\downarrow}$ | ||
+ | $\newcommand{\tg}{\mathop{\rm tg}\nolimits}$ | ||
+ | $\newcommand{\ctg}{\mathop{\rm ctg}\nolimits}$ | ||
+ | $\newcommand{\sign}{\mathop{\rm sign}\nolimits}$ | ||
+ | $\newcommand{\arctg}{\mathop{\rm arctg}\nolimits}$ | ||
+ | $\newcommand{\arcctg}{\mathop{\rm arcctg}\nolimits}$ | ||
+ | $\newcommand{\deg}{^\circ}$ | ||
+ | $\newcommand{\a}{\angle}$ | ||
+ | |||
+ | =====Теорема===== | ||
+ | Для любых чисел $k, l$ и любых векторов $\vec{a}, \vec{b}$ справедливы равенства: | ||
+ | - $(kl)\vec{a}=k(l\vec{a})$; | ||
+ | - $k(\vec{a}+\vec{b})=k\vec{a}+k\vec{b}$. | ||
+ | - $(k+l)\vec{a}=k\vec{a}+l\vec{a}$; | ||
+ | ====Доказательство==== | ||
+ | ===Докажем первый пункт=== | ||
+ | Докажем, | ||
+ | |||
+ | Если $\vec{a}=\vec{0}$, | ||
+ | |||
+ | Пусть $\vec{a}\neq\vec{0}$. | ||
+ | |||
+ | Имеем: $|(lk)\vec{a}|=|kl|\cdot|\vec{a}|=|k|\cdot|l|\cdot|\vec{a}|=|k|\cdot|l\vec{a}|=|k(l\vec{a})|$. | ||
+ | |||
+ | Далее, если $k\cdot l\geqslant0$, | ||
+ | |||
+ | Если же $k\cdot l<0$, то $(kl)\vec{a}\updownarrows \vec{a}$ и $k(l\vec{a})\updownarrows \vec{a}$. | ||
+ | |||
+ | И в том и в другом случае $(kl)\vec{a}\upuparrows k(l\vec{a})$. | ||
+ | |||
+ | Следовательно, | ||
+ | |||
+ | ===Докажем второй пункт=== | ||
+ | Докажем, | ||
+ | |||
+ | Если $k=0$, или $\vec{a}=\vec{0}$, | ||
+ | |||
+ | Пусть $k\neq0, \vec{a}\neq\vec{0}, | ||
+ | |||
+ | Возможны три случая. | ||
+ | ===Первый случай=== | ||
+ | Пусть $\vec{a}\upuparrows \vec{b}$. | ||
+ | |||
+ | Тогда вектора $k(\vec{a}+\vec{b}), | ||
+ | |||
+ | Кроме того $|k(\vec{a}+\vec{b})|=|k|(|\vec{a}|+|\vec{b}|)=|k\vec{a}|+|k\vec{b}|=|k\vec{a}+k\vec{b}|$. | ||
+ | |||
+ | Следовательно, | ||
+ | |||
+ | ===Второй случай=== | ||
+ | Пусть $\vec{a}\updownarrows \vec{b}$. | ||
+ | |||
+ | Пусть для определённости $|\vec{a}|\geqslant|\vec{b}|$. | ||
+ | |||
+ | Тогда и $|k\vec{a}|\geqslant|k\vec{b}|$. | ||
+ | |||
+ | Тогда $k(\vec{a}+\vec{b})\upuparrows(k\vec{a}+k\vec{b})$. | ||
+ | |||
+ | Кроме того в этом случае $|k(\vec{a}+\vec{b})|=|k|(|\vec{a}|-|\vec{b}|)=|k\vec{a}|-|k\vec{b}|=|k\vec{a}+k\vec{b}|$. | ||
+ | |||
+ | Следовательно, | ||
+ | |||
+ | ===Третий случай=== | ||
+ | Пусть $\vec{a}\not \parallel \vec{b}$. | ||
+ | |||
+ | Тогда отложим | ||
+ | |||
+ | Треугольники $OA_1B_1$ и $OAB$ подобны с коэффициентом подобия $|k|$ по второму признаку подобия треугольников. | ||
+ | |||
+ | Следовательно, | ||
+ | |||
+ | C другой стороны, | ||
+ | |||
+ | Итак, $k(\vec{a}+\vec{b})=k\vec{a}+k\vec{b}$. | ||
+ | |||
+ | ===Докажем третий пункт=== | ||
+ | Докажем, | ||
+ | |||
+ | Если $k=l=0$, то справедливость этого равенство очевидна. | ||
+ | |||
+ | Пусть хотя бы одно из чисел $k, l$ отлично от нуля. | ||
+ | |||
+ | Для определённости будем считать, | ||
+ | |||
+ | Рассмотрим вектор $\vec{a}+\dfrac{l}{k}\vec{a}$. | ||
+ | |||
+ | Очевидно, | ||
+ | |||
+ | Далее, $|\vec{a}+\dfrac{l}{k}\vec{a}|=|\vec{a}|+\dfrac{l}{k}|\vec{a}|=(1+\dfrac{l}{k})|\vec{a}|$. | ||
+ | |||
+ | Умножая обе части этого равенства на $k$, получим, | ||
+ | =====Теорема===== | ||
+ | Если точка $C$ лежит на отрезке $AB$, и $AC: | ||
+ | |||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | ====Доказательство==== | ||
+ | Выберем произвольную точку $O$ и обозначим $\vec{a}=\overrightarrow{OA}, | ||
+ | \vec{c}=\overrightarrow{OC}$. | ||
+ | |||
+ | Тогда $\overrightarrow{AB}=\vec{b}-\vec{a}$, | ||
+ | |||
+ | Тогда\\ $\displaystyle\vec{c}=\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AC}=\vec{a}+\dfrac{\alpha}{\alpha+\beta}(\vec{b}-\vec{a})= | ||
+ | \dfrac{\alpha \vec{a}+\beta \vec{a}+\alpha \vec{b}-\alpha\vec{a}}{\alpha+\beta}=\dfrac{\beta \vec{a}+\alpha\vec{b}}{\alpha+\beta}$ | ||
+ | |||
+ | То есть $\vec{c}=\dfrac{\beta}{\alpha+\beta}\vec{a}+\dfrac{\alpha}{\alpha+\beta} \vec{b}$ | ||
+ | |||
+ | Таким образом $\displaystyle\overrightarrow{OC}=\frac{\alpha}{\alpha+\beta}\, | ||
+ | |||
+ | =====Следствие===== | ||
+ | Если в треугольника $ABC$ $AM$ -- это медиана, |
math-public/vektory-svojstva-linejnyh-operacij.1474463066.txt.bz2 · Последнее изменение: 2016/09/21 16:04 — labreslav