Президентский ФМЛ №239

Эта страница только для чтения. Вы можете посмотреть её исходный текст, но не можете его изменить. Сообщите администратору, если считаете, что это неправильно.

=====Определение произведения вектора на число=====
Произведением вектора $\vec{a}\neq\vec{0}$ на число $x\neq0$
называется такой вектор $x\vec{a}$, для которого выполняются два
условия:
  - $|x\cdot\vec{a}|=|x|\cdot|\vec{a}|$
  - он сонаправлен с вектором $\vec{a}$, если $x>0$, и противоположно направлен вектору $\vec{a}$, если $x<0$

Если же $\vec{a}=\vec{0}$ или $x=0$, то вектор $x\vec{a}=\vec{0}$
(рис. \ref{pic138})


{{:math-public:139a.jpg?direct&150|}}
{{:math-public:139b.jpg?direct&150|}}

=====Следствие=====
  - $1\cdot \vec{a}=\vec{a}$ для любого вектора $\vec{a}$.
  - $(-1)\vec{a}=-\vec{a}$ для любого вектора $\vec{a}$.
  - Если $x\vec{a}=x\vec{b}$ и $x\neq0$, то $\vec{a}=\vec{b}$.
  - Если $x\vec{a}=y\vec{a}$ и $\vec{a}\neq\vec{0}$, то $x=y$.

====Доказательство====
===Первое===
По определению вектор $1\cdot \vec{a}$ по модулю равен
$1\cdot|\vec{a}|=|\vec{a}|$, кроме того он сонаправлен с
$\vec{a}$, так как $1>0$.
===Второе===
По определению вектор $(-1)\cdot \vec{a}$ по модулю равен
$|-1|\cdot|\vec{a}|=|\vec{a}|$, кроме того он противоположно направлен с
$\vec{a}$, так как $-1<0$, следовательно, это вектор $-\vec{a}$.
===Третье===
Если $x\vec{a}=x\vec{b}$, то
$|x|\cdot|\vec{a}|=|x|\cdot|\vec{b}|$, и так как $x\neq0$, то
$|\vec{a}|=|\vec{b}|$. Кроме того, если $x>0$, то вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$
сонаправлены с $\vec{a}$, а если $x<0$, то они сонаправлены с
$-\vec{a}$. Таким образом $\vec{a}=\vec{b}$.
===Четвертое===
Если $x\vec{a}=y\vec{a}$, то
$|x|\cdot|\vec{a}|=|y|\cdot|\vec{a}|$, а так как
$\vec{a}\neq\vec{0}$, то на $|\vec{a}|$ можно сократить,
следовательно, $|x|=|y|$. А так как вектора $x\vec{a}$ и $y\vec{a}$ сонаправлены,
то числа $x$ и $y$ одного знака. Следовательно, $x=y$.