Президентский ФМЛ №239

Эта страница только для чтения. Вы можете посмотреть её исходный текст, но не можете его изменить. Сообщите администратору, если считаете, что это неправильно.

 
======Центральная симметрия======
=====Определение=====
Центральная симметрия относительно точки $O$ -- это такое преобразование плоскости, которое любой точке $X$ сопоставляет такую точку $X'$, что $\overrightarrow{OX}=-\overrightarrow{OX'}$.
 
=====Теорема=====
Центральную симметрию можно представить в виде композиции двух осевых симметрий относительно взаимно перпендикулярных прямых, проходящих через центр симметрии.
.
====Доказательство====
Рассмотрим центральную симметрию, относительно точки $O$.

Рассмотрим произвольные взаимно перпендикулярные прямые $l_1$ и $l_2$, проходящие через точки $O$.

Докажем, что $Z_{O}=S_{l_2}\circ S_{l_1}$.

Для этого докажем, что для произвольной точки $X$ будет выполнено $X'=X''$, где $X'=Z_{O}(X), X''=S_{l_2}(S_{l_1}(X))$.

Пусть $Y=S_{l_1}(X)$ и $S_{l_2}(Y)=X''$.

Тогда $\triangle X'YX$ -- прямоугольный, кроме того $OX=OY=OX''$.

Следовательно, $\overrightarrow{OX}=-\overrightarrow{OX''}$, то есть $X''=X'$.
 
=====Теорема=====
Центральная симметрия является движением. 

====Доказательство====
Так как центральная симметрия представляется в виде композиции двух осевых симметрий, а композиция движений является движением, то центральная симметрия также является движением.
 
=====Центральная симметрия в координатах=====
Образ точки $X(x_1;y_1)$ при центральной симметрии относительно точки $O(x_0;y_0)$ имеет координаты $X'(2x_0-x_1;2y_0-y_1)$.
 
 ====Доказательство====
Утверждение теоремы очевидно следует из следующей цепочки равенств:
$X'=O-\overrightarrow{OX}=(x_0;y_0)-((x_1;y_1)-(x_0;y_0))=(2x_0-x_1;2y_0-y_1)$.