math-public:vnevpisannye_okruzhnosti
Различия
Показаны различия между двумя версиями страницы.
Предыдущая версия справа и слеваПредыдущая версияСледующая версия | Предыдущая версия | ||
math-public:vnevpisannye_okruzhnosti [2017/05/22 18:47] – [Доказательство] labreslav | math-public:vnevpisannye_okruzhnosti [2021/02/06 17:31] (текущий) – [Доказательство] labreslav | ||
---|---|---|---|
Строка 1: | Строка 1: | ||
+ | =======Вневписанные окружности======= | ||
+ | =====Определение===== | ||
+ | Окружность, | ||
+ | других его сторон, | ||
+ | треугольника. | ||
+ | |||
+ | =====Теорема===== | ||
+ | У любого треугольника есть три вневписанных окружности. | ||
+ | |||
+ | ====Доказательство==== | ||
+ | Рассмотрим треугольник $ABC$. | ||
+ | |||
+ | Пусть биссектрисы внешних углов при вершинах $B$ и $C$ пересекаются в точке $O_a$. | ||
+ | |||
+ | Тогда точка $O_a$ равноудалена от прямых $AB, BC$ и $AC$. | ||
+ | |||
+ | Следовательно, | ||
+ | |||
+ | Обозначим расстояние от точки $O_a$ до стороны $BC$ за $r_a$. | ||
+ | |||
+ | Тогда окружность с центром в точке $O_a$ и радиусом $r_a$ | ||
+ | касается стороны $BC$ и продолжений сторон $AB$ и $AC$, то есть | ||
+ | является вневписанной окружностью данного треугольника. | ||
+ | |||
+ | Аналогично можно построить вневписанные окружности с центрами в точках $O_b$ и | ||
+ | $O_c$, касающиеся сторон $AC$ и $BA$ соответственно. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | =====Свойства вневписанной окружности===== | ||
+ | =====Свойство 1===== | ||
+ | Пусть в треугольнике $ABC$ биссектриса $AA_1$ пересекается с окружностью, | ||
+ | |||
+ | ====Доказательство==== | ||
+ | Точка $O$, как центр окружности, | ||
+ | лежит на биссектрисе угла $B$, а точка $O_a$, как центр вневписанной | ||
+ | окружности лежит на биссектрисе угла, смежного с углом $B$. | ||
+ | |||
+ | Вспомним, | ||
+ | |||
+ | Следовательно $\angle OBO_a=90^\circ$. Аналогично $\angle OCO_a=90^\circ$. | ||
+ | |||
+ | Следовательно, | ||
+ | |||
+ | Пусть продолжение биссектрисы $AA_1$ и $BB_1$ пересекают окружность, | ||
+ | |||
+ | Так как $AD$ и $BE$ -- биссектрисы, | ||
+ | |||
+ | Обозначим эти пары углов соответственно $\alpha$ и $\beta$. | ||
+ | |||
+ | Тогда $\angle EBD=\frac{\alpha+\beta}{2}$, | ||
+ | |||
+ | Следовательно, | ||
+ | то есть он равнобедренный $BD=DO$. | ||
+ | |||
+ | Таким образом $BD=DO=DC$. | ||
+ | |||
+ | Таким образом точка $D$ равноудалена от всех вершин треугольник | ||
+ | $BOC$, и, следовательно, | ||
+ | около этого треугольника. | ||
+ | |||
+ | Но эта окружность является также окружностью, | ||
+ | |||
+ | =====Свойство 2===== | ||
+ | Точки, в которых вписанная и вневписанная окружности касаются стороны треугольника, | ||
+ | ====Доказательство==== | ||
+ | Рассмотрим треугольник $ABC$. | ||
+ | |||
+ | Пусть вневписанная окружность $\omega_a(O_a, | ||
+ | |||
+ | Докажем, | ||
+ | |||
+ | Пусть точка $D$ -- это точка пересечения продолжения биссектрисы | ||
+ | $AA_1$ с описанной окружностью. | ||
+ | |||
+ | По первому свойству $D$ -- это центр окружности, | ||
+ | |||
+ | Следовательно, | ||
+ | |||
+ | Кроме того, так как $O_aD=DO$, то по теореме Фалеса $PM=MQ$ (так как радиусы проведенные в точку касания перпендикулярны касательной $BC$ и $DM$ - серединный перпендикуляр к $BC$, то $O_aP\parallel DM\parallel OQ$). | ||
+ | |||
+ | |||
+ | =====Свойство 3===== | ||
+ | Прямая, | ||
+ | |||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ====Доказательство==== | ||
+ | Рассмотрим треугольник $ABC$. | ||
+ | |||
+ | Пусть вневписанная окружность $\omega_a$ касается прямых $AB, BC$ и $AC$ в точках $N, M$ и $P$ соответственно. | ||
+ | |||
+ | Докажем, | ||
+ | |||
+ | Действительно, | ||
+ | одной точки равны, то $AN=AP, BN=BM$ и $CM=CP$. | ||
+ | |||
+ | Учитывая эти соотношения, | ||
+ | |||
+ | Таким образом $AN=AB+BN=p$. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | =====Совйство 4==== | ||
+ | $S=r_a(p-a)$. | ||
+ | |||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | ====Доказательство==== | ||
+ | Рассмотрим треугольник $ABC$. | ||
+ | |||
+ | Пусть $\omega_a(O_a, | ||
+ | |||
+ | Докажем, | ||
+ | |||
+ | Пусть $N, M, P$ -- это точки касания окружности $\omega_a$ и прямых $AB, BC$ и $AC$ | ||
+ | соответственно. | ||
+ | |||
+ | Соединим центр вневписанной окружности $O_a$ с вершинами треугольника. | ||
+ | |||
+ | Тогда | ||
+ | |||
+ | $\displaystyle S_{ABC}=S_{ABO_a}+S_{ACO_a}-S_{BCO_a}=\frac{1}{2}r_ac+\frac{1}{2}r_ab-\frac{1}{2}r_aa=r_a\cdot\frac{b+c-a}{2}=r_a(p-a)$. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | =====Свойство 5===== | ||
+ | $S=\sqrt{rr_ar_br_c}$. | ||
+ | |||
+ | ====Доказательство==== | ||
+ | По свойству $4^\circ$ $S=r_a(p-a), | ||
+ | |||
+ | Кроме того $S=rp$. | ||
+ | |||
+ | Тогда $p=\frac{S}{r}, | ||
+ | |||
+ | Подставляя эти соотношения в формулу Герона, | ||
+ | $\displaystyle S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\sqrt{\frac{S^4}{rr_ar_br_c}}=\frac{S^2}{\sqrt{rr_ar_br_c}}$, | ||
+ | или $S=\sqrt{rr_ar_br_c}$. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | =====Свойство 6===== | ||
+ | $S=\dfrac{r_ar_br_c}{p}$. | ||
+ | |||
+ | ====Доказательство==== | ||
+ | По свойству $4^\circ$ $S=r_a(p-a), | ||
+ | |||
+ | Тогда $p=\dfrac{S}{r}, | ||
+ | p-c=\dfrac{S}{r_c}$. | ||
+ | |||
+ | Подставляя эти соотношения в формулу Герона, | ||
+ | |||
+ | Возводя это равенство в квадрат и выражая $S$, получим | ||
+ | $S=\dfrac{r_ar_br_c}{p}$. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | =====Свойсвто 7===== | ||
+ | $\displaystyle \frac{1}{r}=\frac{1}{r_a}+\frac{1}{r_b}+\frac{1}{r_c}$. | ||
+ | ====Доказательство==== | ||
+ | |||
+ | Напишем цепочку равенств, | ||
+ | $\displaystyle\frac{1}{r_a}+\frac{1}{r_b}+\frac{1}{r_c}=\frac{p-a}{S}+\frac{p-b}{S}+\frac{p-c}{S}=\frac{3p-a-b-c}{S}=\frac{3a+3b+3c-2a-2b-2c}{2S}=\frac{a+b+c}{2S}=\frac{p}{S}=\frac{1}{r}$. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | =====Свойство 8===== | ||
+ | $r_ar_b=p(p-c), | ||
+ | |||
+ | ====Доказательство==== | ||
+ | По свойству $4^\circ$, учитывая формулу Герона, | ||
+ | $r_ar_b=\frac{S^2}{(p-a)(p-b)}=\frac{p(p-a)(p-b)(p-c)}{(p-a)(p-b)}=p(p-c)$, | ||
+ | $\displaystyle rr_a=\frac{S^2}{p(p-a)}=\frac{p(p-a)(p-b)(p-c)}{p(p-a)}=(p-b)(p-c)$. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | =====Свойство 9===== | ||
+ | Исходный треугольник является ортотреугольником треугольника $O_aO_bO_c$. | ||
+ | |||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | ====Доказательство==== | ||
+ | Достаточно доказать, | ||
+ | $O_aO_bO_c$, | ||
+ | |||
+ | Отрезки $AO_a$ и $AO_b$ являются биссектрисами смежных углов $\angle BAC$ и $\angle CAM$, следовательно, | ||
+ | |||
+ | Аналогично $BO_b$ и $CO_c$ являются высотами треугольника $O_aO_bO_c$. | ||
+ | |||
+ | =====Свойство 10===== | ||
+ | $4R=r_a+r_b+r_c-r$. | ||
+ | |||
+ | ====Доказательство==== | ||
+ | Выразим все радиусы через площадь и стороны: | ||
+ | |||
+ | Тогда $r_a+r_b+r_c-r=\dfrac{S}{p-a}+\dfrac{S}{p-b}+\dfrac{S}{p-c}-\dfrac{S}{p}=$ | ||
+ | |||
+ | $=S\cdot\dfrac{p(p-b)(p-c)+p(p-a)(p-c)+p(p-a)(p-b)-(p-a)(p-b)(p-c)}{p(p-a)(p-b)(p-c)}=$ | ||
+ | |||
+ | $=S\dfrac{abc}{S^2}=\dfrac{abc}{S}=4R$ | ||
+ | =====Свойство 11===== | ||
+ | $r_ar_b+r_br_c+r_cr_a=p^2$ | ||
+ | |||
+ | ====Доказательство==== | ||
+ | Подставим формулы $r=\dfrac{S}{p}, | ||
+ | |||
+ | $r_ar_b+r_br_c+r_cr_a=\dfrac{S^2}{(p-a)(p-b)}+\dfrac{S^2}{(p-b)(p-c)}+\dfrac{S^2}{(p-c)(p-a)}=$ | ||
+ | |||
+ | $=S^2\cdot\dfrac{(p-c)+(p-a)+(p-b)}{(p-a)(p-b)(p-c)}=S^2\cdot\dfrac{p}{(p-a)(p-b)(p-c)}$ | ||
+ | |||
+ | Из формулы Герона следует, | ||
+ | |||
+ | $r_ar_b+r_br_c+r_cr_a=S^2\cdot\dfrac{p^2}{S^2}=p^2$ | ||
math-public/vnevpisannye_okruzhnosti.1495468035.txt.bz2 · Последнее изменение: 2017/05/22 18:47 — labreslav