Ортоцентр

Чтобы центр масс непрямоугольного треугольника попал в ортоцентр, его вершины и нужно загрузить массами и .

Если допустить бесконечную массу в вершине прямого угла, то формулы будут верны и для прямоугольного треугольника.

Центр описанной окружности

Чтобы центр масс непрямоугольного треугольника попал в центр описанной окружности, его вершины и нужно загрузить массами и .

Если допустить нулевую массу в вершине прямого угла, то формулы будут верны и для прямоугольного треугольника.

Центр вписанной окружности

Чтобы центр масс треугольника попал в центр вписанной окружности, его вершины и нужно загрузить массами и .

Центр вневписанной окружности

Чтобы центр масс треугольника попал в центр вневписанной окружности, его вершины и нужно загрузить массами и .

Центроид

Чтобы центр масс треугольника попал в центроид, его вершины и нужно загрузить массами и .

Теорема Лейбница

Пусть - центроид треугольника . Тогда для произвольной точки плоскости имеет место равенство

Доказательство

Обозначим вектора маленькими буквами: . Тогда имеем: . С учетом этих обозначений получаем: Кроме того, известно, что для любой точки плоскости выполнено соотношение: . Взяв вместо точки точку имеем: . С учетом этого равенства получаем:

Теорема

Пусть – инцентр треугольника . Тогда имеет место равенство

Пусть – эксцентр треугольника . Тогда имеет место равенство

Пусть - центроид треугольника . Тогда

Пусть - центр описанной окружности треугольника . Тогда

Теорема

В любом треугольника :

, , .

Теорема

Пусть – инцентр, а – центроид произвольного треугольника . Тогда

Доказательство

По теореме Лейбница:

Теорема

Пусть – эксцентр, а – центроид произвольного треугольника . Тогда

Доказательство

По теореме Лейбница:

Теорема

Теорема