Ортоцентр

Чтобы центр масс непрямоугольного треугольника попал в ортоцентр, его вершины и нужно загрузить массами и .

Если допустить бесконечную массу в вершине прямого угла, то формулы будут верны и для прямоугольного треугольника.

Центр описанной окружности

Чтобы центр масс непрямоугольного треугольника попал в центр описанной окружности, его вершины и нужно загрузить массами и .

Если допустить нулевую массу в вершине прямого угла, то формулы будут верны и для прямоугольного треугольника.

Центр вписанной окружности

Чтобы центр масс треугольника попал в центр вписанной окружности, его вершины и нужно загрузить массами и .

Центр вневписанной окружности

Чтобы центр масс треугольника попал в центр вневписанной окружности, его вершины и нужно загрузить массами и .

Центроид

Чтобы центр масс треугольника попал в центроид, его вершины и нужно загрузить массами и .

Теорема Лейбница

Пусть - центроид треугольника . Тогда для произвольной точки плоскости имеет место равенство

Доказательство

Обозначим вектора маленькими буквами: . Тогда имеем: . С учетом этих обозначений получаем: Кроме того, известно, что для любой точки плоскости выполнено соотношение: . Взяв вместо точки точку имеем: . С учетом этого равенства получаем:

Теорема

Пусть – инцентр треугольника . Тогда имеет место равенство

Пусть – эксцентр треугольника . Тогда имеет место равенство

Пусть - центроид треугольника . Тогда

Пусть - центр описанной окружности треугольника . Тогда

Теорема

В любом треугольника :

, , .

Теорема

Пусть – инцентр, а – центроид произвольного треугольника . Тогда

Доказательство

По теореме Лейбница:

Теорема

Пусть – эксцентр, а – центроид произвольного треугольника . Тогда

Доказательство

По теореме Лейбница:

Теорема

Теорема

Доказательство

$4p^2\cdot OI^2 = a^2 OA^2+b^2 OB^2 + c^2 OC^2 + 2ab \overrightarrow{OA}\overrightarrow{OB} + 2bc \overrightarrow{OB}\overrightarrow{OC} + 2ac \overrightarrow{OA}\overrightarrow{OC}$

$4p^2\cdot OI^2 = R^2(a^2+b^2 + c^2) + 2ab R^2\cos{2\gamma} + 2bc R^2\cos{2\alpha} + 2ac R^2\cos{2\beta}$

$4p^2\cdot OI^2 = R^2\left(a^2+b^2 + c^2 + 2ab \cos{2\gamma} + 2bc \cos{2\alpha} + 2ac \cos{2\beta}\right)$

$4p^2\cdot OI^2 = R^2\left(a^2+b^2 + c^2 + 2ab (1-2\sin^2{\gamma}) + 2bc (1-2\sin^2{\alpha}) + 2ac (1-2\sin^2{\beta})\right)$

$4p^2\cdot OI^2 = R^2\left(a^2+b^2 + c^2+2ab+2bc+2ac- 4(ab\sin^2{\gamma}) + bc\sin^2{\alpha}) + ac\sin^2{\beta})\right)$

$4p^2\cdot OI^2 = R^2\left((a+b+c)^2- 4\left(ab\frac{c^2}{4R^2}) + bc\frac{a^2}{4R^2}) + ac\frac{b^2}{4R^2}\right)\right)$