Президентский ФМЛ №239

Пусть $Z$ - центроид треугольника $ABC$. Тогда для произвольной точки $X$ плоскости имеет место равенство $$XA^2+XB^2+XC^2 =3 XZ^2 + AZ^2 + BZ^2 + CZ ^2.$$

Обозначим вектора маленькими буквами: $\vec{a}=\overrightarrow{Z A}, \vec{b}=\overrightarrow{Z B}, \vec{c}=\overrightarrow{Z C}, \vec{x}=\overrightarrow{Z X}$. Тогда имеем: $\overrightarrow{X A}=\vec{a}-\vec{x}, \overrightarrow{X B}=\vec{b}-\vec{x}, \overrightarrow{X C}=\vec{c}-\vec{x}$. С учетом этих обозначений получаем: $$X A^{2}+X B^{2}+X C^{2}=\overrightarrow{X A^{2}}+\overrightarrow{X B^{2}}+\overrightarrow{X C^{2}}=$$ $$=(\vec{a}-\vec{x})^{2}+(\vec{b}-\vec{x})^{2}+(\vec{c}-\vec{x})^{2}=\vec{a}^{2}+\vec{b}^{2}+\vec{c}^{2}+3 \vec{x}^{2}-2 \vec{x}(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})$$ Кроме того, известно, что для любой точки $Y$ плоскости выполнено соотношение: $\overrightarrow{Y Z}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{Y A}+\overrightarrow{Y B}+\overrightarrow{Y C})$. Взяв вместо точки $Y$ точку $Z$ имеем: $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\overrightarrow{0}$. С учетом этого равенства получаем: $$\overrightarrow{X A^{2}}+\overrightarrow{X B^{2}}+\overrightarrow{X C}^{2}=\vec{a}^{2}+\vec{b}^{2}+\vec{c}^{2}+3 \vec{x}^{2}.$$

Пусть $I$ – инцентр треугольника $ABC$. Тогда имеет место равенство $$AI^2 + BI^2 + CI ^2 = 3r^2+(p-a)^2+(p-b)^2+(p-c)^2.$$

Пусть $I_a$ – эксцентр треугольника $ABC$. Тогда имеет место равенство $$AI_a^2 + BI_a^2 + CI_a ^2 = 3r_a^2+p^2+(p-b)^2+(p-c)^2.$$

Пусть $Z$ - центроид треугольника $ABC$. Тогда $$AZ^2 + BZ^2 + CZ ^2 = \dfrac{a^2+b^2+c^2}{3}.$$

Пусть $O$ - центр описанной окружности треугольника $ABC$. Тогда $$AO^2 + BO^2 + CO ^2 = 3R^2.$$

В любом треугольника $ABC$:

$$\cos^2{\alpha}+\cos^2{\beta}+\cos^2{\gamma} = 3 - \dfrac{a^2+b^2+c^2}{4R^2}$$

$R = \dfrac{a}{2\sin^2{\alpha}}$

$a = 2R\sin{\alpha}$, $b = 2R\sin{\beta}$, $c = 2R\sin{\gamma}$.

$3 - \dfrac{a^2+b^2+c^2}{4R^2} = 3 - \dfrac{a^2}{4R^2}-\dfrac{a^2}{4R^2}-\dfrac{a^2}{4R^2} = 3 - (\sin^2{\alpha}+\sin^2{\beta}+\sin^2{\gamma}) =$ $= \cos^2{\alpha}+\cos^2{\beta}+\cos^2{\gamma}$

Пусть $I$ – инцентр, а $Z$ – центроид произвольного треугольника $ABC$. Тогда $$IZ^2 = \dfrac19\sqrt{9r^2-3p^2+2 (a^2+b^2+c^2)}$$

По теореме Лейбница: $IA^2+IB^2+IC^2 = 3IZ^2+(AZ^2+BZ^2+CZ^2)$

$IA^2+IB^2+IC^2 = 3IZ^2+\dfrac{a^2+b^2+c^2}{3}$

$r^2+(p-a)^2+r^2+(p-b)^2+r^2+(p-c)^2=3IZ^2+\dfrac{a^2+b^2+c^2}{3}$

$3r^2+p^2-2ap+a^2+p^2-2pb+b^2+p^2-2pc+c^2=3IZ^2+\dfrac{a^2+b^2+c^2}{3}$

$3r^2+3p^2-2ap-2pb-2pc+(a^2+b^2+c^2)=3IZ^2+\dfrac{a^2+b^2+c^2}{3}$

$3r^2+3p^2-2p(a+b+c)+(a^2+b^2+c^2)=3IZ^2+\dfrac{a^2+b^2+c^2}{3}$

$3r^2+3p^2-2p\cdot 2p+(a^2+b^2+c^2)=3IZ^2+\dfrac{a^2+b^2+c^2}{3}$

$3r^2-p^2+\dfrac23 (a^2+b^2+c^2)=3IZ^2$

$r^2-\dfrac13 p^2+\dfrac29 (a^2+b^2+c^2)=IZ^2$

$IZ^2 = \sqrt{r^2-\dfrac13 p^2+\dfrac29 (a^2+b^2+c^2)}$

$IZ^2 = \dfrac19\sqrt{9r^2-3p^2+2 (a^2+b^2+c^2)}$

Пусть $I_a$ – эксцентр, а $Z$ – центроид произвольного треугольника $ABC$. Тогда $$I_aZ^2 = \dfrac19\sqrt{9r_a^2-3(p-a)^2+2 (a^2+b^2+c^2)}$$

По теореме Лейбница: $I_aA^2+I_aB^2+I_aC^2 = 3I_aZ^2+(AZ^2+BZ^2+CZ^2)$

$I_aA^2+I_aB^2+I_aC^2 = 3I_aZ^2+\dfrac{a^2+b^2+c^2}{3}$

$r_a^2+p^2+r_a^2+(p-b)^2+r_a^2+(p-c)^2=3I_aZ^2+\dfrac{a^2+b^2+c^2}{3}$

$3r_a^2+p^2+p^2-2pb+b^2+p^2-2pc+c^2=3I_aZ^2+\dfrac{a^2+b^2+c^2}{3}$

$3r_a^2+3p^2-2pb-2pc+(b^2+c^2)=3I_aZ^2+\dfrac{a^2+b^2+c^2}{3}$

$3r_a^2+3p^2-2p(b+c)+(b^2+c^2)=3I_aZ^2+\dfrac{a^2+b^2+c^2}{3}$

$3r_a^2+3p^2-2p(a+b+c)+2pa+(a^2+b^2+c^2)-a^2=3I_aZ^2+\dfrac{a^2+b^2+c^2}{3}$

$3r_a^2+3p^2-4p^2+(a^2+b^2+c^2)+2pa-a^2=3I_aZ^2+\dfrac{a^2+b^2+c^2}{3}$

$3r_a^2+(a^2+b^2+c^2)-p^2+2pa-a^2=3I_aZ^2+\dfrac{a^2+b^2+c^2}{3}$

$3r_a^2+(a^2+b^2+c^2)-(p-a)^2=3I_aZ^2+\dfrac{a^2+b^2+c^2}{3}$

$3r_a^2-(p-a)^2+\dfrac{2}{3}(a^2+b^2+c^2)=3I_aZ^2$

$I_aZ^2 = \sqrt{r_a^2-\dfrac13 (p-a)^2+\dfrac29 (a^2+b^2+c^2)}$

$IZ^2 = \dfrac19\sqrt{9r_a^2-3(p-a)^2+2 (a^2+b^2+c^2)}$

$$I_aI=\frac{r}{\sin \frac{\beta}{2} \cdot \sin \frac{\gamma}{2}} = \sqrt{r^2+r^2_a+(p-b)^2+(p-c)^2}$$ $$I_aI_b=r \cdot \frac{\operatorname{ctg} \frac{\alpha}{2}+\operatorname{ctg} \frac{\beta}{2}}{\sin \frac{\gamma}{2}} = \dfrac{r\cos{\frac{\gamma}{2}}}{\sin{\frac{\alpha}{2}}\sin{\frac{\beta}{2}}\sin{\frac{\gamma}{2}}}=\dfrac{r\ctg{\frac{\gamma}{2}}}{\sin{\frac{\alpha}{2}}\sin{\frac{\beta}{2}}}$$

$$\sin \frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{(p-b)(p-c)}{b c}}$$ $$\operatorname{ctg} \frac{\alpha}{2}=\frac{p-a}{r}$$ $$I_aI=a \sqrt{\frac{b c}{p(p-a)}}$$ $$I_{a}I_{b}=c \sqrt{\frac{a b}{(p-a)(p-b)}}$$

$$O I_{a}^{2}=R^{2}+2 R r_{a}$$

$$OI^{2}=R^{2}-2 R r$$

$(a+b+c)\overrightarrow{OI} = a\overrightarrow{OA}+b\overrightarrow{OB}+c\overrightarrow{OC}$

$4p^2\cdot OI^2 = a^2 OA^2+b^2 OB^2 + c^2 OC^2 + 2ab \overrightarrow{OA}\overrightarrow{OB} + 2bc \overrightarrow{OB}\overrightarrow{OC} + 2ac \overrightarrow{OA}\overrightarrow{OC}$

$4p^2\cdot OI^2 = R^2(a^2+b^2 + c^2) + 2ab R^2\cos{2\gamma} + 2bc R^2\cos{2\alpha} + 2ac R^2\cos{2\beta}$

$4p^2\cdot OI^2 = R^2\left(a^2+b^2 + c^2 + 2ab \cos{2\gamma} + 2bc \cos{2\alpha} + 2ac \cos{2\beta}\right)$

$4p^2\cdot OI^2 = R^2\left(a^2+b^2 + c^2 + 2ab (1-2\sin^2{\gamma}) + 2bc (1-2\sin^2{\alpha}) + 2ac (1-2\sin^2{\beta})\right)$

$4p^2\cdot OI^2 = R^2\left(a^2+b^2 + c^2+2ab+2bc+2ac- 4(ab\sin^2{\gamma} + bc\sin^2{\alpha} + ac\sin^2{\beta})\right)$

$4p^2\cdot OI^2 = R^2\left((a+b+c)^2- 4\left(ab\frac{c^2}{4R^2} + bc\frac{a^2}{4R^2} + ac\frac{b^2}{4R^2}\right)\right)$

$4p^2\cdot OI^2 = R^2\left(4p^2-\frac{abc}{R^2}(a+b+c)\right)$

$4p^2\cdot OI^2 = R^2\left(4p^2-\frac{abc}{R^2}2p\right)$

$OI^2 = R^2-\frac{abc}{2p}\right)$