math-public:svojstva_sinusa
Различия
Показаны различия между двумя версиями страницы.
math-public:svojstva_sinusa [2016/04/07 23:38] – создано labreslav | math-public:svojstva_sinusa [2016/04/07 23:39] (текущий) – labreslav | ||
---|---|---|---|
Строка 1: | Строка 1: | ||
+ | =====Свойства синуса===== | ||
+ | - Синус каждого угла не больше единицы. | ||
+ | - При возрастании угла от $0^\circ$ до $90^\circ$ его синус возрастает от 0 до 1. | ||
+ | - При возрастании угла от $90^\circ$ до $180^\circ$ его синус убывает от 1 до 0. | ||
+ | - $\sin{(180^\circ-\alpha)}=\sin{\alpha}$. | ||
+ | - Величина острого угла определяется его синусом. | ||
+ | |||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | ====Доказательство==== | ||
+ | Первый пункт следует из того, что перпендикуляр короче | ||
+ | наклонной. | ||
+ | |||
+ | ===Докажем второй пункт теоремы.=== | ||
+ | Возьмем прямой угол $O$ со сторонами $p$ и $q$. | ||
+ | |||
+ | Из вершины $O$ внутрь этого угла проведем единичный отрезок $OA$, образующий с лучом $p$ | ||
+ | острый угол $\alpha$. | ||
+ | |||
+ | Из точки $A$ опустим перпендикуляры $AK$ и $AL$ на лучи $p$ и $q$. | ||
+ | |||
+ | Получим прямоугольник $OKAL$. | ||
+ | |||
+ | Так как $OA=1$, то $AK=\sin{\alpha}$. | ||
+ | |||
+ | А поскольку $OL=AK$, то $OL=\sin{\alpha}$. | ||
+ | |||
+ | Итак $\sin{\alpha}$ равен длине проекции $OL$ единичного отрезка $OA$ на луч $q$. | ||
+ | |||
+ | Когда угол $\alpha$ возрастает от $0^\circ$ до $90^\circ$, отрезок $OA$ поворачивается вокруг точки $O$ от положения $OA_0$ на луче $p$ до положения $OA_1$ на луче $q$. | ||
+ | |||
+ | Точка $A$ пробегает четверть окружности. | ||
+ | |||
+ | При этом точка $L$ движется от точки $O$ до точки $A_1$. | ||
+ | |||
+ | Длина отрезка $OL$, то есть $\sin{\alpha}$ возрастает от $0$ до $1$. | ||
+ | |||
+ | ===Докажем третий пункт теоремы.=== | ||
+ | |||
+ | Когда тупой угол возрастает от $90^\circ$ до $180^\circ$, | ||
+ | |||
+ | В этом случае по пункту 2 синус такого угла убывает от $1$ до $0$. | ||
+ | |||
+ | ===Докажем четвертый пункт теоремы.=== | ||
+ | |||
+ | Пусть $\sin{\alpha}=\sin{\beta}$. | ||
+ | |||
+ | Докажем, | ||
+ | |||
+ | Действительно, | ||
+ | - $\alpha> | ||
+ | - $\alpha< | ||
+ | - Следовательно, |
math-public/svojstva_sinusa.txt · Последнее изменение: 2016/04/07 23:39 — labreslav