math-public:teorema_pifagora
Различия
Показаны различия между двумя версиями страницы.
Предыдущая версия справа и слеваПредыдущая версияСледующая версия | Предыдущая версия | ||
math-public:teorema_pifagora [2016/04/13 20:35] – [Доказательство] labreslav | math-public:teorema_pifagora [2016/04/14 00:30] (текущий) – [Доказательство] labreslav | ||
---|---|---|---|
Строка 1: | Строка 1: | ||
+ | ======Теорема Пифагора====== | ||
+ | =====Теорема Пифагора===== | ||
+ | В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме | ||
+ | квадратов катетов. | ||
+ | |||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | ====Доказательство==== | ||
+ | Рассмотрим треугольник $\triangle ABC$ с прямым углом $C$. | ||
+ | |||
+ | Пусть $AB=c, AC=b, BC=a$. | ||
+ | |||
+ | Докажем, | ||
+ | |||
+ | Достроим треугольник $ABC$ до квадрата $CDFH$ со стороной $(a+b)$ так, как это показано на рисунке. | ||
+ | |||
+ | Треугольники $\triangle ABC$, $\triangle BDE$, $\triangle | ||
+ | EFG$ и $\triangle GHA$ равны по двум катетам. | ||
+ | |||
+ | Тогда у них равны гипотенузы, | ||
+ | |||
+ | Кроме того из равенства этих треугольников следует, | ||
+ | есть $BEGA$ -- ромб с прямым углом, то есть квадрат. | ||
+ | |||
+ | Квадрат $CDFH$ -- составлен из четырех равных треугольников и квадрата со | ||
+ | стороной $c$. | ||
+ | |||
+ | Тогда с одной стороны $S_{CDFH}=(a+b)^2$, | ||
+ | |||
+ | Следовательно, | ||
+ | |||
+ | =====Обратная теорема Пифагора===== | ||
+ | Если в треугольнике квадрат одной стороны равен сумме квадратов двух | ||
+ | других сторон, | ||
+ | |||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | ====Доказательство==== | ||
+ | Пусть в треугольнике $\triangle ABC$ выполняется равенство | ||
+ | $AB^2=AC^2+BC^2$. | ||
+ | |||
+ | Докажем, | ||
+ | |||
+ | Рассмотрим прямоугольный треугольник $A_1B_1C_1$ с прямым углом $\angle C_1$, у | ||
+ | которого $A_1C_1=AC$ и $B_1C_1=BC$. | ||
+ | |||
+ | По теореме Пифагора $A_1B_1^2=A_1C_1^2+B_1C_1^2$, | ||
+ | $A_1B_1^2=AC^2+BC^2=AB^2$, | ||
+ | |||
+ | Тогда треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ равны по третьему признаку равенства, | ||
+ | следовательно, | ||
+ | |||
+ | =====Формула Герона===== | ||
+ | Площадь треугольника со сторонами $a,b$ и $c$ и полупериметром $p$ | ||
+ | вычисляется по формуле $S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$. | ||
+ | |||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | =====Доказательство===== | ||
+ | Рассмотрим треугольник $ABC$, в котором $AB=c, BC=a, AC=b$. | ||
+ | |||
+ | В любом треугольнике по крайней мере два угла острые. | ||
+ | |||
+ | Пусть $\angle A$ и $\angle B$ -- острые углы треугольника $\triangle ABC$. | ||
+ | |||
+ | Тогда основание $H$ высоты $CH$ треугольника лежит на стороне $AB$. | ||
+ | |||
+ | Пусть $CH=h, AH=y, HB=x$. | ||
+ | |||
+ | По теореме Пифагора $a^2-x^2=h^2=b^2-y^2$, | ||
+ | |||
+ | Так как $y+x=c$, то $y-x=\dfrac{b^2-a^2}{c}$. | ||
+ | |||
+ | Сложив два последних равенства и разделив на 2, получим: | ||
+ | |||
+ | Поэтому\\ | ||
+ | |||
+ | $h^2=b^2-y^2=(b+y)(b-y)=\left(b+\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2c}\right)\left(b-\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2c}\right)=\dfrac{(b+c)^2-a^2}{2c}\cdot\dfrac{a^2-(b-c)^2}{2c}=\dfrac{(b+c+a)(b+c-a)(a-b+c)(a+b-c)}{4c^2}=\dfrac{2p(2p-2a)(2p-2b)(2p-2c)}{4c^2}=\dfrac{4p(p-a)(p-b)(p-c)}{c^2}.$ | ||
+ | |||
+ | Следовательно, | ||
+ | |||
+ | Но $S_{ABC}=\dfrac{1}{2}hc=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$. | ||
math-public/teorema_pifagora.txt · Последнее изменение: 2016/04/14 00:30 — labreslav