math-public:vektory-slozhenie-vychitanie
Различия
Показаны различия между двумя версиями страницы.
Предыдущая версия справа и слеваПредыдущая версияСледующая версия | Предыдущая версия | ||
math-public:vektory-slozhenie-vychitanie [2016/10/26 13:26] – labreslav | math-public:vektory-slozhenie-vychitanie [2016/10/26 13:28] (текущий) – labreslav | ||
---|---|---|---|
Строка 1: | Строка 1: | ||
+ | $\newcommand{\updownarrows}{\uparrow\!\downarrow}$ | ||
+ | |||
+ | ======Линейные операции с векторами====== | ||
+ | =====Правило треугольника===== | ||
+ | Чтобы получить сумму векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$, нужно от | ||
+ | какой-либо точки $A$ отложить вектор $\overrightarrow{AB}=\vec{a}$, | ||
+ | затем от точки $B$ отложить вектор $\overrightarrow{BC}=\vec{b}$. | ||
+ | |||
+ | Вектор $\overrightarrow{AC}$ называется суммой векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$. | ||
+ | |||
+ | $\vec{a}+\vec{b}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$ | ||
+ | |||
+ | |||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | =====Определение====== | ||
+ | Суммой двух векторов называется вектор, | ||
+ | |||
+ | =====Теорема===== | ||
+ | Определение суммы векторов корректно, | ||
+ | от выбора точки $A$. | ||
+ | |||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ====Доказательство==== | ||
+ | Докажем, | ||
+ | $B_1$ отложить вектор $\overrightarrow{B_1C_1}=\vec{b}$, | ||
+ | будет равна вектору $\overrightarrow{AC}$, | ||
+ | \ref{pic133}). | ||
+ | |||
+ | Так как $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{A_1B_1}$, | ||
+ | |||
+ | Аналогично из равенства $\overrightarrow{B_1C_1}=\overrightarrow{BC}$ следует, | ||
+ | $\overrightarrow{BB_1}=\overrightarrow{CC_1}$. | ||
+ | |||
+ | Поэтому $\overrightarrow{AA_1}=\overrightarrow{CC_1}$. | ||
+ | |||
+ | Но из этого равенства по той же теореме \ref{133} следует, | ||
+ | $\overrightarrow{A_1C_1}=\overrightarrow{AC}$. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | =====Правило параллелограмма===== | ||
+ | Если $ABCD$ -- параллелограмм, | ||
+ | $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$ | ||
+ | |||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | ====Доказательство==== | ||
+ | Так как $ABCD$ -- параллелограмм, | ||
+ | $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$. Следовательно, | ||
+ | $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | =====Свойства сложения векторов===== | ||
+ | Для любых векторов $\vec{a}, \vec{b}$ и $\vec{c}$ | ||
+ | - $\vec{a}+\vec{0}=\vec{a}$. | ||
+ | - $\vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a}$. | ||
+ | - $(\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}=\vec{a}+(\vec{b}+\vec{c})$. | ||
+ | |||
+ | {{: | ||
+ | {{: | ||
+ | {{: | ||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | ====Доказательство==== | ||
+ | Первой свойство очевидно. | ||
+ | |||
+ | Докажем второе свойство. | ||
+ | |||
+ | Возможны два случая: | ||
+ | $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны. | ||
+ | |||
+ | Рассмотрим первый случай. | ||
+ | |||
+ | Пусть вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$ неколлинеарны. | ||
+ | |||
+ | Отложим их от точки $A$: $\overrightarrow{AB}=a$ и $\overrightarrow{AD}=b$ -- и построим | ||
+ | на этих векторах параллелограмм $ABCD$ (рис. \ref{pic136} a). | ||
+ | |||
+ | Поскольку $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}, | ||
+ | \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}=\vec{a}$ и | ||
+ | $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}=\vec{b}$, | ||
+ | $\vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a}$. | ||
+ | |||
+ | Рассмотрим второй случай. | ||
+ | |||
+ | Пусть вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны. | ||
+ | |||
+ | Если вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$ сонаправлены, | ||
+ | $\vec{b}+\vec{a}=\overrightarrow{AB_1}+\overrightarrow{B_1C_1}=\overrightarrow{AC_1}$ | ||
+ | (рис. \ref{pic136} b). | ||
+ | |||
+ | Докажем, | ||
+ | |||
+ | Вектора $\overrightarrow{AC}$ и $\overrightarrow{AC_1}$ очевидно сонаправлены, | ||
+ | |||
+ | Следовательно, | ||
+ | |||
+ | Рассмотрим случай, | ||
+ | \ref{pic136} c). | ||
+ | |||
+ | Пусть кроме того $|\vec{a}|> | ||
+ | |||
+ | Тогда $\vec{a}+\vec{b}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$, | ||
+ | при этом $|\overrightarrow{AC}|=|\vec{a}|-|\vec{b}|$. | ||
+ | |||
+ | C другой стороны $\vec{b}+\vec{a}=\overrightarrow{AB_1}+\overrightarrow{B_1C_1}=\overrightarrow{AC_1}$, | ||
+ | при этом $|\overrightarrow{AC_1}|=|\vec{a}|-|\vec{b}|$. | ||
+ | |||
+ | Таким образом модули векторов $\overrightarrow{AC}$ и $\overrightarrow{AC_1}$ равны, кроме того они сонаправлены, | ||
+ | следовательно, | ||
+ | |||
+ | Докажем третий пункт теоремы. | ||
+ | |||
+ | Отложим от точки $A$ вектор $\overrightarrow{AB}=\vec{a}$, | ||
+ | $\overrightarrow{BC}=\vec{b}$, | ||
+ | |||
+ | Тогда $(\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}=(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC})+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}$. | ||
+ | |||
+ | C другой стороны, | ||
+ | Итак $(\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}=\vec{a}+(\vec{b}+\vec{c})$. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | =====Правило цепочки====== | ||
+ | При любом расположении точек $A_1, A_2, A_3, \ldots, A_n$ верно равенство $\overrightarrow{A_1A_2}+\overrightarrow{A_2A_3}+\ldots+\overrightarrow{A_{n-1}A_n}=\overrightarrow{A_1A_n}$ | ||
+ | =====Определение===== | ||
+ | Два ненулевых вектора называются противоположными, | ||
+ | равны и они противоположны по направлению. Ноль-вектор считается | ||
+ | противоположным самому себе (рис. \ref{pic137}). | ||
+ | |||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | |||
+ | =====Теорема===== | ||
+ | - $\vec{a}+(-\vec{a})=\vec{0}$. | ||
+ | - Если $\vec{a}+\vec{b}=\vec{0}$, | ||
+ | |||
+ | ====Доказательство===== | ||
+ | Докажем первый пункт. | ||
+ | |||
+ | Пусть $\vec{a}=\overrightarrow{AB}$. | ||
+ | |||
+ | Тогда $-\vec{a}=\overrightarrow{BA}$. | ||
+ | |||
+ | Следовательно, | ||
+ | |||
+ | Докажем второй пункт. | ||
+ | |||
+ | Пусть $\vec{a}+\vec{b}=\vec{0}$. | ||
+ | |||
+ | Тогда, если $\vec{a}=\overrightarrow{AB}$, | ||
+ | |||
+ | Таким образом, | ||
+ | |||
+ | =====Разность векторов===== | ||
+ | Разностью векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ называется такой вектор | ||
+ | $\vec{c}$, что $\vec{c}+\vec{b}=\vec{a}$. Принято обозначать | ||
+ | $\vec{c}=\vec{a}-\vec{b}$. | ||
+ | |||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | =====Следствие===== | ||
+ | $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CB}$. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | =====Теорема===== | ||
+ | Для любых двух векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ справедливо равенство | ||
+ | $\vec{a}-\vec{b}=\vec{a}+(-\vec{b})$. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | ====Доказательство==== | ||
+ | Пусть $\vec{c}=\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}=\vec{a}-\vec{b}$. | ||
+ | |||
+ | По правилу треугольника $\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{OA}$. | ||
+ | |||
+ | Кроме того $\overrightarrow{BO}=-\overrightarrow{OB}=-\vec{b}$. | ||
+ | |||
+ | Поэтому $\vec{a}- \vec{b}=\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{BO}=\overrightarrow{OA}+(-\overrightarrow{OB})=\vec{a}+(-\vec{b})$. | ||
+ | |||
+ | |||
math-public/vektory-slozhenie-vychitanie.txt · Последнее изменение: 2016/10/26 13:28 — labreslav