Президентский ФМЛ №239

Радиус окружности, описанной около треугольника удовлетворяет соотношению $R=\dfrac{abc}{4S}$.

По теореме $2R=\dfrac{a}{\sin{\alpha}}$.

Кроме того $S=\frac{1}{2}bc\sin{\alpha}$, откуда $\sin{\alpha}=\dfrac{2S}{bc}$.

Подставляя это выражение для $\sin{\alpha}$ в формулу для радиуса, получим $2R=\dfrac{a}{\frac{2S}{bc}}$ или $R=\dfrac{abc}{4S}$.

Радиус окружности, вписанной в многоугольник (в частности, в треугольник) удовлетворяет соотношению $S=pr$, где $S$ – площадь многоугольника, а $p$ – его полупериметр.

Рассмотрим $n$-угольник $A_1A_2A_3\ldots A_n$, в который вписана окружность с центром $O$ и радиусом $r$.

Соединим вершины многоугольника с центром окружности и получим $n$ треугольников, в каждом из которых высотой является радиус вписанной окружности.

Тогда

$\displaystyle S=S_{A_1OA_2}+S_{A_2OA_3}+\ldots+S_{A_{n-1}OA_n}=\frac{1}{2}rA_1A_2+\dfrac{1}{2}rA_2A_3+\ldots+\frac{1}{2}rA_{n-1}A_n=\frac{1}{2}r(A_1A_2+\ldots+A_{n-1}A_n)=pr$.

Радиус окружности, вписанной в треугольник, и его высоты связаны соотношением $\displaystyle \frac{1}{r}=\frac{1}{h_a}+\frac{1}{h_b}+\frac{1}{h_c}$.

Так как площадь треугольника равна полупроизведению высоты и стороны, к которой эта высота проведена, то можно выразить стороны следующим образом: $a=\dfrac{2S}{h_a}, b=\dfrac{2S}{h_b}, c=\dfrac{2S}{h_c}$.

Кроме того, так как $S=pr$, то $a+b+c=2p=\dfrac{2S}{r}$.

Тогда, складывая первые три равенства, получим $\displaystyle \frac{2S}{a}+\frac{2S}{b}+\frac{2S}{c}=\frac{2S}{r}$

или $\displaystyle\frac{1}{r}=\frac{1}{h_a}+\frac{1}{h_b}+\frac{1}{h_c}$.