Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- math-public:aksiomatika_aleksandrova [2016/08/04 17:30] – labreslav
+++ math-public:aksiomatika_aleksandrova [2016/08/04 18:26] (текущий) – labreslav
@@ Строка 1: / Строка 1: @@
+===== Основные (неопределяемые) объекты и отношения =====
+=== Основные объекты ===
+  - Точки
+  - Отрезки
+=== Основные отношения ===
+  - Точка является концом отрезка
+  - Точка лежит внутри отрезка
+  - Два отрезка равны друг другу
+===== Аксиомы =====
+==== 1. Аксиомы связи точек и отрезков ====
+=== Аксиома 1.1 ===
+Для каждого отрезка существует две точки, являющиеся его концами.
+=== Аксиома 1.2 ===
+Для каждого отрезка существует не более двух точек, являющихся его концами.
+=== Аксиома 1.3 ===
+Для каждых двух точек существует отрезок, концами которого они являются.
+=== Аксиома 1.4 ===
+Существует не более одного отрезка с данными концами.
+=== Аксиома 1.5 ===
+Для каждого отрезка существует лежащая на нем точка.
+=== Аксиома 1.6 ===
+Точка, лежащая на отрезке, не является его концом.
+==== 2. Аксиомы разделения и соединения отрезков ====
+=== Аксиома 2.1 ===
+Если точка $C$ лежит на отрезке $AB$, то $AB=AC\cup BC$.
+Более подробно:
+  - Если $C$ на $AB$ и $D$ на $AC$ (или на $BC$), то $D$ на $AB$.
+  - Если $C$ на $AB$ и $D$ на $AB$ ($D\neq C$), то $D$ на $AC$ или на $BC$.
+=== Аксиома 2.2 ===
+Если точка $C$ лежит на отрезке $AB$, то $AC\cap CB=C$.
+=== Аксиома 2.3 ===
+Если $C$ на $AB$ и $B$ на $CD$, то $AB\cup CD=AD$.
+==== 3. Аксиомы о равенстве и сравнении отрезков ====
+=== Аксиома 3.1 ===
+Для каждых двух отрезков $AB$ и $CD$ существует отрезок $AE$, равный $CD$ и налегающий на $AB$.
+=== Аксиома 3.2 ===
+Для каждых двух отрезков $AB$ и $CD$ существует не более одного отрезка $AE$, равного $CD$ и налегающего на $AB$.
+=== Аксиома 3.3 ===
+Если отрезки равны одному и тому же отрезку, то они равны друг другу.
+=== Аксиома 3.4 ===
+Если $C$ на $AB$ и $C'$ на $A'B'$ и $AC=A'C'$, $BC=B'C'$, то $AB=A'B'$.
+=== Аксиома 3.5 (Аксиома Архимеда) ===
+При любых двух отрезках $AB$ и $CD$ существует отрезок $AA_n$, содержащий $AB$ и такой =, что на нем есть такие точки $A_1, \ldots, A_{n-1}$, что $AA_1=\ldots=A_{n-1}A_n=CD$.
+==== Аксиома непрерывности ====
+=== Аксиома 4.1 ===
+Если $\ \ \ldots\subset A_2B_2\subset A_1B_1$, то существует точка, принадлежащая каждому из отрезков $A_1B_1$, $A_2B_2$, и т.д.
+==== Плоскостные аксиомы ====
+=== Аксиома 5.1 ===
+Существуют три точки, не лежащие на одном отрезке.
+=== Аксиома 5.2 (аксиома Паша)===
+Если отрезок пересекает сторону треугольника, то он сам или некоторый содержащий его отрезок пересекает другую сторону, либо проходит через его вершину.
+=== Аксиома 5.3 ===
+Для любого треугольника $ABC$ и отрезка $A'B'$,  равного $AB$, с любой данной стороны от $A'B'$ существует такая точка $C'$, что $A'C'=AC$, $BC=B'C'$.
+=== Аксиома 5.4 ===
+Если $AB=A'B'$, $AC=A'C'$, $BC=B'C'$ и $D$, $D'$ -- такие точки на $AB$ и $A'B'$, что $AD=A'D'$, то также $CD=C'D'$.
+=== Аксиома 5.5 ===
+Если точки $C$ и $D$ лежат с одной стороны от отрезка $AB$ и отрезки $AC$ и $BD$ равны и образуют с $AB$ прямые углы, то $CD=AB$.