Угол с вершиной в центре окружности называется ее центральным углом.

Градусной мерой дуги окружности называется величина центрального угла, который соответствует этой дуге.

Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным углом.

Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

Пусть $\a ABC$ – вписанный угол окружности с центром $O$, опирающийся на дугу $AC$.

Докажем, что $\angle ABC=\frac{1}{2}\buildrel\,\,\frown\over{AC}$.

Рассмотрим три возможных случая расположения луча $BO$ относительно угла $ABC$.

Пусть луч $BO$ совпадает с одной из сторон угла $ABC$, например со стороной $BC$.

В этом случае дуга $AC$ меньше полуокружности, поэтому $\a AOC=\buildrel\,\,\frown\over{AC}$.

Так как угол $AOC$ – внешний угол равнобедренного треугольника $ABO$, и $\angle 1=\angle 2$, как углы при основании равнобедренного треугольника, то $\angle AOC=\angle 1+\angle 2=2\angle 1$.

Отсюда следует, что $2\angle 1=\buildrel\,\,\frown\over{AC}$ или $\angle ABC=\angle 1=\frac{1}{2}\buildrel\,\,\frown\over{AC}$.

Пусть луч $BO$ делит угол $ABC$ на два угла.

В этом случае луч $BO$ пересекает дугу $\buildrel\,\,\frown\over{AC}$ в некоторой точке $D$.

Точка $D$ разделяет дугу $\buildrel\,\,\frown\over{AC}$ на две дуги: $\buildrel\,\,\frown\over{AD}$ и $\buildrel\,\,\frown\over{DC}$.

По первому случаю $\angle ABD=\frac{1}{2}\buildrel\,\,\frown\over{AD}$ и $\angle DBC=\frac{1}{2}\buildrel\,\,\frown\over{DC}$.

Складывая эти равенства, получим: $\angle ABD+\angle DBC=\frac{1}{2}\buildrel\,\,\frown\over{AD}+\frac{1}{2}\buildrel\,\,\frown\over{DC}=\frac{1}{2}\buildrel\,\,\frown\over{AC}$.

Пусть луч $BO$ пересекает окружность в точке $D$, при этом луч $BC$ разбивает угол $ABD$ на два угла.

Точка $C$ разделяет дугу $\buildrel\,\,\frown\over{AD}$ на две дуги: $\buildrel\,\,\frown\over{AC}$ и $\buildrel\,\,\frown\over{CD}$.

По первому случаю $\angle ABD=\frac{1}{2}\buildrel\,\,\frown\over{AD}$ и $\angle DBC=\frac{1}{2}\buildrel\,\,\frown\over{DC}$.

Вычитая эти равенства, получим: $\angle ABD-\angle CBD=\frac{1}{2}\buildrel\,\,\frown\over{AD}-\frac{1}{2}\buildrel\,\,\frown\over{CD}=\frac{1}{2}\buildrel\,\,\frown\over{AC}$.

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

Вписанный угол, опирающийся на диаметр – прямой.

1. Угол между пересекающимися хордами окружности равен полусумме двух противоположных дуг, высекаемых этими хордами.
2. Угол между двумя пересекающимися секущими данной окружности равен полуразности дуг, высекаемых этими секущими.
3. Угол между двумя пересекающимися касательными к окружности равен $180^\circ-\alpha$, где $\alpha$ – градусная мера меньшей из дуг, образованных точками касания.
4. Угол между касательной и хордой, проведенной из точки касания, равен половине дуги, заключенной между ними.
5. Угол между касательной и секущей, равен полуразности дуг, которые они высекают.

Пусть хорды $AB$ и $CD$ окружности $\omega$ пересекаются в точке $E$.

Обозначим $\angle \varphi=\angle AED, \alpha=\buildrel\,\,\frown\over{AD}, \beta=\buildrel\,\,\frown\over{BC}$.

Докажем, что $\angle \varphi=\frac{\alpha+\beta}{2}$.

Углы $ABD$ и $CDB$ – вписанные, поэтому $\angle ABD=\frac{\alpha}{2}, \angle CDB=\frac{\beta}{2}$.

Кроме того $\angle \varphi$ – внешний угол треугольника $EBD$, поэтому $\angle \varphi=\frac{\alpha}{2}+\frac{\beta}{2}=\frac{\alpha+\beta}{2}$.

Пусть секущие $PB$ и $PD$ пересекают окружность $\omega$ в точках $A$ и $C$ соответственно.

Обозначим $\alpha = \buildrel\,\,\frown\over{BD}, \beta=\buildrel\,\,\frown\over{AC}, \angle \varphi=\angle P$.

Докажем, что тогда $\varphi=\frac{\alpha-\beta}{2}$.

Углы $BAD$ и $ADC$ – вписанные, поэтому $\angle BAD=\frac{\alpha}{2}, \angle ADC=\frac{\beta}{2}$.

Кроме того $\angle BAD$ – внешний угол треугольника $PAD$, следовательно, $\frac{\alpha}{2}=\angle \varphi+\frac{\beta}{2}$, откуда $\angle \varphi=\frac{\alpha-\beta}{2}$.

Пусть из точки $P$ к окружности с центром $O$ проведены две касательные $PA$ и $PB$ ($A$ и $B$ – точки касания).

Обозначим $\buildrel\,\,\frown\over{AB}=\alpha$.

Угол $AOB$ – центральный, поэтому $\angle AOB=\alpha$.

Кроме того $\angle PAO=\angle PBO=90^\circ$.

Поскольку сумма углов четырехугольника $PAOB$ равна $360^\circ$, то $\angle P=\angle \varphi=360^\circ-90^\circ-90^\circ-\alpha=180^\circ-\alpha$.

Пусть прямая $PC$ касается окружности с центром $O$ в точке $A$.

Кроме того пусть проведена хорда $AB$.

Обозначим $\alpha=\buildrel\,\,\frown\over{AB}$.

Докажем, что тогда $\angle PAB=\frac{\alpha}{2}$.

Угол $AOB$ центральный, поэтому он равен $\alpha$.

Кроме того, треугольник $AOB$ равнобедренный, следовательно, $\angle OAB=\frac{180^\circ-\alpha}{2}=90^\circ-\frac{\alpha}{2}$.

Угол $OAP$ равен $90^\circ$, так как это угол между касательной и радиусом.

Тогда $\angle \varphi=\angle PAB=90^\circ-(90^\circ-\frac{\alpha}{2})=\frac{\alpha}{2}$.

Пусть секущая $PB$ пересекает окружность в точке $A$, $PC$ – касательная.

Обозначим $\alpha=\buildrel\,\,\frown\over{BC}$, $\beta=\buildrel\,\,\frown\over{AC}$, $\varphi=\angle APC$.

Докажем, что тогда $\varphi=\dfrac{\alpha-\beta}{2}$.

Угол $\angle BAC$ равен половине дуги $\buildrel\,\,\frown\over{BC}$, то есть $\angle BAC=\dfrac{\alpha}{2}$.

Угол $\angle ACP$ – это угол между касательной и хордой, следовательно он равен половине дуги $\buildrel\,\,\frown\over{AC}$, то есть $\angle ACP=\dfrac{\beta}{2}$.

Угол $\angle BAC$ – внешний для треугольника $\triangel PAC$, следовательно $\angle BAC=\angle APC+\angle PCA$, или иначе $\dfrac{\alpha}{2}=\varphi+\dfrac{\beta}{2}$.

Откуда $\varphi=\dfrac{\alpha-\beta}{2}$.