Инструменты пользователя

Инструменты сайта


math-public:aksiomatika_gilberta

Аксиоматика Гильберта

Основные (неопределяемые) объекты и отношения

Основные объекты

  1. Точки
  2. Прямые

Основные отношения

  1. Точка лежит на прямой

1. Аксиомы принадлежности

Аксиома 1.1

Для любых двух точек $A$ и $B$ существует прямая $a$, принадлежащая каждой из этих двух точек.

Аксиома 1.2

Для любых двух точек $A$ и $B$ существует не более одной прямой, принадлежащей каждой из этих двух точек.

Аксиома 1.3

На прямой существуют по крайней мере две точки. Существует по крайней мере три точки, не лежащие на одной прямой.

2. Аксиомы порядка

Аксиома 2.1

Если точка $B$ лежит между точкой $A$ и точкой $C$, то $A, B, C$ суть три различные токи прямой, и $B$ лежит также между $C$ и $A$.

Аксиома 2.2

Для любых двух точек $A$ и $C$ на прямой $AC$ существует по крайней мере одна точка $B$ такая, что точка $C$ лежит между $A$ и $B$.

Аксиома 2.3

Среди любых трех точек прямой существует не более одной точки, лежащей между двумя другими.

Аксиома 2.4 (Паша)

Пусть $A, B, C$ – три точки, не лежащие на одной прямой, и $a$ - прямая в плоскости $ABC$, не проходящая ни через одну из точек $A, B, C$. Если при этом прямая $a$ проходит через одну из точек отрезка $AB$, то она должна пройти через одну из точек отрезка $AC$ или через одну из точек отрезка $BC$.

Нажмите, чтобы отобразить

Нажмите, чтобы скрыть

Теорема 3. Для любых двух точек $A$ и $C$ на прямой $AC$ существует по крайней мере одна точка $D$, лежащая между $A$ и $C$.

Теорема 4 Среди трех точек $A,B,C$ на одной и той же прямой всегда существует одна, лежащая между двумя другими.

Теорема (дополнение к аксиоме Паша) Пусть $A, B, C$ – три точки, не лежащие на одной прямой, и $a$ - прямая в плоскости $ABC$, не проходящая ни через одну из точек $A, B, C$. Если при этом прямая $a$ проходит через одну из точек отрезка $AB$, то она не может при этом пересечь оба отрезка $AC$ и $BC$.

Теорема 5 Любые четыре точки на прямой можно обозначить буквами $A, B, C, D$ так, чтобы точка, обозначенная буквой $B$, лежала как между точками $A$ и $C$, так и между $A$ и $D$? а точка, обозначенная буквой $C$? лежала как между точками $A$ и $D$, так и между точками $B$ и $D$.

Теорема 6 Как бы ни было расположено конечное число точек на прямой, их можно обозначить буквами $A, B, C, D, ... , K$ так, чтобы точка обозначенная буквой $B$, лежала между точкой $A$ с одной стороны и точками $C, D, E, ... , K$ – с другой. Далее $C$ – между $A$ и $B$ с одной стороны и $D, E, ... , K$ с другой стороны, и т.д. Кроме этого обозначения существует ещё только обратный способ обозначения $K, ... , E, D, C, B, A$, обладающий тем же свойством.

Теорема 7 Между любыми двумя точками прямой существует бесчисленное множество точек

Теорема 8 Каждая прямая $a$, лежащая в плоскости $\alpha$, разбивает точки плоскости $\alpha$, не лежащие на этой прямой, на две области, обладающие следующим свойством: каждая точка $A$ одной из областей вместе с каждой точкой $B$ другой области определяют отрезок $AB$, внутри которого лежит одна точка прямой $a$, а любые две точки $A$ и $A'$ одной и той же области определяют отрезок, не содержащий ни одной из точек прямой $a$.

Теорема 9 Всякий простой многоугольник, лежащий в плоскости $\alpha$, разбивает точки плоскости $\alpha$, не принадлежащие многоугольнику, на две области – внутреннюю и внешнюю, – обладающие следующими свойствами: если $A$ есть точка внутренней области, а $B$ – точка внешней области, то всякая ломаная, лежащая в плоскости $\alpha$ и соединяющая точки $A$ и $B$, имеет по крайней мере одну общую точку с многоугольником; если же $A$ и $A'$ – суть де внутренние точки многоугольника, а $B$ и $B'$ - его внешние точки, то, наоборот, всегда существуют в плоскости $\alpha$ ломаные, соединяющие точку $A$ с точкой $A'$ и точку $B$ с точкой $B'$ и не имеющие никаких общих точек с многоугольником. При надлежащем выборе названия для обеих областей, в плоскости будут существовать прямые, целиком проходящие во внешней области многоугольника, и. наоборот, не будет существовать ни одной прямой, целиком лежащей в его внутренней области.

3. Аксиомы конгруентности

Замечание

Отрезки (в некоторых случаях) находятся один к другому в определенном отношении, для обозначения которого нам служат слова «конгруентен» или «равен».

Аксиома 3.1 (об откладывании отрезка)

Если $A, B$ суть две точки на прямой $a$ и $A'$ – точка на той же прямой или на другой прямой $a'$, то всегда можно найти точку $B'$, лежащую по данную сторону от точки $A'$ на прямой $a'$, и притом такую, что отрезок $AB$ конгруентен, иначе говоря, равен отрезку $A'B'$.

Аксиома 3.2

Если отрезок $A'B'$ и отрезок $A''B''$ конгруентны одному и тому же отрезку $AB$, то отрезок $A'B'$ конгруентен также и отрезку $A''B''$.

Теорема Отношение конгруентности отрезков обладает свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности.

Аксиома 3.3 (о сложении отрезков)

Пусть $AB$ и $BC$ суть два отрезка прямой $a$, не имеющие ни одной общей точки, и пусть, далее, $A'B'$ и $B'C'$ суть два отрезка той же прямой или другой прямой $a'$, также не имеющие общих точек. Если при этом $AB=A'B'$ и $BC=B'C'$, то $AC=A'C'$

Замечание

Углы (в некоторых случаях) находятся один к другому в определенном отношении, для обозначения которого нам служат слова «конгруентен» или «равен».

Аксиома 3.4

Пусть даны угол $\angle(h,k)$ в плоскости $\alpha$ и прямая $a'$ в плоскости $a'$, а также

math-public/aksiomatika_gilberta.txt · Последнее изменение: 2017/04/14 19:25 — labreslav

Donate Powered by PHP Valid HTML5 Valid CSS Driven by DokuWiki