Инструменты пользователя

Инструменты сайта


math-public:aksiomatika_gilberta

Различия

Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.

Ссылка на это сравнение

Предыдущая версия справа и слева Предыдущая версия
math-public:aksiomatika_gilberta [2017/04/14 19:22]
labreslav [Аксиома 2.4 (Паша)]
math-public:aksiomatika_gilberta [2017/04/14 19:25] (текущий)
labreslav [Аксиома 3.2]
Строка 1: Строка 1:
 +====== Аксиоматика Гильберта ======
 +===== Основные (неопределяемые) объекты и отношения =====
 +==== Основные объекты ====
 +  - Точки
 +  - Прямые
  
 +==== Основные отношения ====
 +  - Точка лежит на прямой
 +
 +
 +===== 1. Аксиомы принадлежности =====
 +====Аксиома 1.1====
 +Для любых двух точек $A$ и $B$ существует прямая $a$, принадлежащая каждой из этих двух точек.
 +====Аксиома 1.2====
 +Для любых двух точек $A$ и $B$ существует не более одной прямой,​ принадлежащей каждой из этих двух точек.
 +====Аксиома 1.3====
 +На прямой существуют по крайней мере две точки. Существует по крайней мере три точки, не лежащие на одной прямой.
 +
 +===== 2. Аксиомы порядка =====
 +====Аксиома 2.1====
 +Если точка $B$ лежит между точкой $A$ и точкой $C$, то $A, B, C$ суть три различные токи прямой,​ и $B$ лежит также между $C$ и $A$.
 +
 +====Аксиома 2.2====
 +Для любых двух точек $A$ и $C$ на прямой $AC$ существует по крайней мере ​ одна точка $B$ такая, что точка $C$ лежит между $A$ и $B$.
 +====Аксиома 2.3====
 +Среди любых трех точек прямой существует не более одной точки, лежащей между двумя другими.
 +====Аксиома 2.4 (Паша)====
 +Пусть $A, B, C$ -- три точки, не лежащие на одной прямой,​ и $a$ - прямая в плоскости $ABC$, не проходящая ни через одну из точек $A, B, C$. Если при этом прямая $a$ проходит через одну из точек отрезка $AB$, то она должна пройти через одну из точек отрезка $AC$ или через одну из точек отрезка $BC$.
 +
 +<​hidden>​
 +**Теорема 3.**
 +Для любых двух точек $A$ и $C$ на прямой $AC$ существует по крайней мере одна точка $D$, лежащая между $A$ и $C$.
 + \\
 + \\
 +**Теорема 4**
 +Среди трех точек $A,B,C$ на одной и той же прямой всегда существует одна, лежащая между двумя другими.
 + \\
 + \\
 +**Теорема (дополнение к аксиоме Паша)**
 +Пусть $A, B, C$ -- три точки, не лежащие на одной прямой,​ и $a$ - прямая в плоскости $ABC$, не проходящая ни через одну из точек $A, B, C$. Если при этом прямая $a$ проходит через одну из точек отрезка $AB$, то она не может при этом пересечь оба отрезка $AC$ и $BC$.
 + \\
 + \\
 +**Теорема 5**
 +Любые четыре точки на прямой можно обозначить буквами $A, B, C, D$ так, чтобы точка, обозначенная буквой $B$, лежала как между точками $A$ и $C$, так и между $A$ и $D$? а точка, обозначенная буквой $C$? лежала как между точками $A$ и $D$, так и между точками $B$ и $D$.
 + \\
 + \\
 +**Теорема 6**
 +Как бы ни было расположено конечное число точек на прямой,​ их можно обозначить буквами $A, B, C, D, ... , K$ так, чтобы точка обозначенная буквой $B$, лежала между точкой $A$ с одной стороны и точками $C, D, E, ... , K$ -- с другой. Далее $C$ -- между $A$ и $B$ с одной стороны и $D, E, ... , K$ с другой стороны,​ и т.д. Кроме этого обозначения существует ещё только обратный способ обозначения $K, ... , E, D, C, B, A$, обладающий тем же свойством.
 +\\
 +\\
 +** Теорема 7**
 +Между любыми двумя точками прямой существует бесчисленное множество точек
 +\\
 +\\
 +**Теорема 8**
 +Каждая прямая $a$, лежащая в плоскости $\alpha$, разбивает точки плоскости $\alpha$, не лежащие на этой прямой,​ на две области,​ обладающие следующим свойством:​ каждая точка $A$ одной из областей вместе с каждой точкой $B$ другой области определяют отрезок $AB$, внутри которого лежит одна точка прямой $a$, а любые две точки $A$ и $A'$ одной и той же области определяют отрезок,​ не содержащий ни одной из точек прямой $a$.
 +\\
 +\\
 +** Теорема 9**
 +Всякий простой многоугольник,​ лежащий в плоскости $\alpha$, разбивает точки плоскости $\alpha$, не принадлежащие многоугольнику,​ на две области -- внутреннюю и внешнюю,​ -- обладающие следующими свойствами:​ если $A$ есть точка внутренней области,​ а $B$ -- точка внешней области,​ то всякая ломаная,​ лежащая в плоскости $\alpha$ и соединяющая точки $A$ и $B$, имеет по крайней мере одну общую точку с многоугольником;​ если же $A$ и $A'$ -- суть де внутренние точки многоугольника,​ а $B$ и $B'$ - его внешние точки, то, наоборот,​ всегда существуют в плоскости $\alpha$ ломаные,​ соединяющие точку $A$ с точкой $A'$ и точку $B$ с точкой $B'$ и не имеющие никаких общих точек с многоугольником. При надлежащем выборе названия для обеих областей,​ в плоскости будут существовать прямые,​ целиком проходящие во внешней области многоугольника,​ и. наоборот,​ не будет существовать ни одной прямой,​ целиком лежащей в его внутренней области.
 +</​hidden>​
 +===== 3. Аксиомы конгруентности =====
 +=== Замечание ===
 +Отрезки (в некоторых случаях) находятся один к другому в определенном отношении,​ для обозначения которого нам служат слова <<​конгруентен>>​ или <<​равен>>​.
 +====Аксиома 3.1 (об откладывании отрезка)====
 +Если $A, B$ суть две точки на прямой $a$ и $A'$ -- точка на той же прямой или на другой прямой $a'$, то всегда можно найти точку $B'$, лежащую по данную сторону от точки $A'$ на прямой $a'$, и притом такую, что отрезок $AB$ конгруентен,​ иначе говоря,​ равен отрезку $A'​B'​$.
 +==== Аксиома 3.2 ====
 +Если отрезок $A'​B'​$ и отрезок $A''​B''​$ конгруентны одному и тому же отрезку $AB$, то отрезок $A'​B'​$ конгруентен также и отрезку $A''​B''​$.
 +
 +**Теорема**
 +Отношение конгруентности отрезков обладает свойствами рефлексивности,​ симметричности и транзитивности.
 +
 +==== Аксиома 3.3 (о сложении отрезков)====
 +Пусть $AB$ и $BC$ суть два отрезка прямой $a$, не имеющие ни одной общей точки, и пусть, далее, $A'​B'​$ и $B'​C'​$ суть два отрезка той же прямой или другой прямой $a'$, также не имеющие общих точек. Если при этом $AB=A'​B'​$ и $BC=B'​C'​$,​ то $AC=A'​C'​$
 +
 +=== Замечание ===
 +Углы (в некоторых случаях) находятся один к другому в определенном отношении,​ для обозначения которого нам служат слова <<​конгруентен>>​ или <<​равен>>​.
 +
 +==== Аксиома 3.4 ====
 +Пусть даны угол $\angle(h,​k)$ в плоскости $\alpha$ и прямая $a'$ в плоскости $a'$, а также
math-public/aksiomatika_gilberta.txt · Последние изменения: 2017/04/14 19:25 — labreslav